Em um laboratório de mecânica dos fluidos, um experimento de massa específica da água em função da temperatura foi realizado e dados foram obtidos. Para o experimento se utilizou as unidades da medição de temperatura em Kelvin e da medição de massa específica utilizando o Sistema Internacional. Com estes dados uma aproximação polinomial de terceiro grau foi obtida na forma:
Descreva matematicamente a taxa de variação da massa específica com a temperatura. Encontre em qual(is) temperaturas(s) encontra(m)-se o(s) ponto(s) de maior massa específica para este fluido.
Passo 1
O enunciado dá a aproximação polinomial de terceira ordem da massa específica da água em função da temperatura (temperatura em Kelvin). A função fornecida é
O que nos pedem:
- Descrever matematicamente a taxa de variação da massa específica com a temperatura (ou seja, escrever a derivada
). - Encontrar em qual(is) temperatura(s) se encontra(m) o(s) ponto(s) de maior massa específica (ou seja, localizar máximos relativos de
).
As informações relevantes são os coeficientes do polinômio (já escritos acima). A resolução começa calculando a derivada e depois achando os pontos críticos.
Passo 2
O que significa “taxa de variação” aqui?
- A taxa de variação instantânea de
em relação a é a derivada . - Regra básica: para um monômio
a derivada é . Ou seja, baixa-se o expoente multiplicando pelo coeficiente e diminui-se o expoente em 1.
Exemplo rápido: a derivada deé porque .
Vamos aplicar isso termo a termo ao polinômio dado.
Passo 3
Derivamos cada termo de
Aplicando a regra:
- Derivada de
é . - Derivada de
é . - Derivada de
é . - Derivada de constante
é .
Portanto a taxa de variação (derivada) é
Passo 4
Para achar pontos extremos calculamos os pontos críticos resolvendo
. Assim, temos a equação quadrática
Usamos a fórmula quadrática. Para a equação
temos
Aqui
,
,
.
Calculemos o discriminante passo a passo:
A raiz do discriminante é
Passo 5
Agora aplicamos a fórmula:
Os dois valores de
são
Portanto os pontos críticos estão aproximadamente em
e
.
Passo 6
Precisamos classificar esses pontos (máximo ou mínimo). Usamos a segunda derivada:
Avaliaremos
em cada ponto:
- Em
:
Como
,
é um ponto de máximo local.
- Em
:
Como
,
é um ponto de mínimo local.
Conclusão: o polinômio tem um máximo local em
(e um mínimo local em
). Se a pergunta é especificamente “onde ocorre a maior massa específica”, assumindo que estamos olhando para extremos locais dados pelo polinômio, o máximo local relevante é em
.
Resposta
Maior massa específica (ponto de máximo local):