Em um laboratório de mecânica dos fluidos, um experimento de massa específica da água em função da temperatura foi realizado e dados foram obtidos. Para o experimento se utilizou as unidades da medição de temperatura em Kelvin e da medição de massa específica utilizando o Sistema Internacional. Com estes dados uma aproximação polinomial de terceiro grau foi obtida na forma:
f(T)=1,640 \text { E-05 } T^{3}-1,949 \text { E-02 } T^{2}+6,997 T+208,523
Descreva matematicamente a taxa de variação da massa específica com a temperatura. Encontre em qual(is) temperaturas(s) encontra(m)-se o(s) ponto(s) de maior massa específica para este fluido.

Passo 1

O enunciado dá a aproximação polinomial de terceira ordem da massa específica da água em função da temperatura (temperatura em Kelvin). A função fornecida é
f(T)=1,640\times10^{-5}T^{3}-1,949\times10^{-2}T^{2}+6,997T+208,523.
O que nos pedem:
  1. Descrever matematicamente a taxa de variação da massa específica com a temperatura (ou seja, escrever a derivada f'(T)).
  2. Encontrar em qual(is) temperatura(s) se encontra(m) o(s) ponto(s) de maior massa específica (ou seja, localizar máximos relativos de f).
As informações relevantes são os coeficientes do polinômio (já escritos acima). A resolução começa calculando a derivada e depois achando os pontos críticos.

Passo 2

O que significa “taxa de variação” aqui?
  • A taxa de variação instantânea de f em relação a T é a derivada f'(T).
  • Regra básica: para um monômio \;aT^n\; a derivada é \;anT^{n-1}\;. Ou seja, baixa-se o expoente multiplicando pelo coeficiente e diminui-se o expoente em 1.
    Exemplo rápido: a derivada de \;5T^3\; é \;15T^2\; porque 3\cdot5=15.
Vamos aplicar isso termo a termo ao polinômio dado.

Passo 3

Derivamos cada termo de
f(T)=1,640\times10^{-5}T^{3}-1,949\times10^{-2}T^{2}+6,997T+208,523.
Aplicando a regra:
  • Derivada de \;1,640\times10^{-5}T^{3}\; é \;3\cdot(1,640\times10^{-5})T^{2}=(4,92\times10^{-5})T^{2}.
  • Derivada de \;-1,949\times10^{-2}T^{2}\; é \;2\cdot(-1,949\times10^{-2})T=-3,898\times10^{-2}T.
  • Derivada de \;6,997T\; é \;6,997.
  • Derivada de constante \;208,523\; é \;0.
Portanto a taxa de variação (derivada) é
f'(T)=4,92\times10^{-5}T^{2}-3,898\times10^{-2}T+6,997.

Passo 4

Para achar pontos extremos calculamos os pontos críticos resolvendo f'(T)=0. Assim, temos a equação quadrática
4,92\times10^{-5}T^{2}-3,898\times10^{-2}T+6,997=0.
Usamos a fórmula quadrática. Para a equação aT^{2}+bT+c=0 temos
T=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.
Aqui a=4,92\times10^{-5}, b=-3,898\times10^{-2}, c=6,997.
Calculemos o discriminante passo a passo:
b^{2}=(-3,898\times10^{-2})^{2}=0,0015198404,
4ac=4\cdot(4,92\times10^{-5})\cdot6,997=0,0013770096,
\Delta=b^{2}-4ac=0,0015198404-0,0013770096=0,0001428308.
A raiz do discriminante é
\sqrt{\Delta}=\sqrt{0,0001428308}\approx0,0119596.

Passo 5

Agora aplicamos a fórmula:
2a=2\cdot(4,92\times10^{-5})=9,84\times10^{-5}.
Os dois valores de T são
T_{1}=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{0,03898+0,0119596}{9,84\times10^{-5}}=\frac{0,0509396}{9,84\times10^{-5}}\approx517,9,
T_{2}=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{0,03898-0,0119596}{9,84\times10^{-5}}=\frac{0,0270204}{9,84\times10^{-5}}\approx274,7.
Portanto os pontos críticos estão aproximadamente em T\approx274,7\\ \text{K} e T\approx517,9\\ \text{K}.

Passo 6

Precisamos classificar esses pontos (máximo ou mínimo). Usamos a segunda derivada:
f''(T)=\frac{d}{dT}f'(T)=2\cdot(4,92\times10^{-5})T-3,898\times10^{-2}=9,84\times10^{-5}T-3,898\times10^{-2}.
Avaliaremos f'' em cada ponto:
  • Em T\approx274,7:
f''(274,7)=9,84\times10^{-5}\cdot274,7-3,898\times10^{-2}\approx0,027016-0,03898\approx-0,01196<0.
Como f''<0, T\approx274,7\\ \text{K} é um ponto de máximo local.
  • Em T\approx517,9:
f''(517,9)=9,84\times10^{-5}\cdot517,9-3,898\times10^{-2}\approx0,05094-0,03898\approx0,01196>0.
Como f''>0, T\approx517,9\\ \text{K} é um ponto de mínimo local.
Conclusão: o polinômio tem um máximo local em T\approx274,7\\ \text{K} (e um mínimo local em T\approx517,9\\ \text{K}). Se a pergunta é especificamente “onde ocorre a maior massa específica”, assumindo que estamos olhando para extremos locais dados pelo polinômio, o máximo local relevante é em T\approx274,7\\ \text{K}.

Resposta

f'(T)=4,92\times10^{-5}T^{2}-3,898\times10^{-2}T+6,997.
Maior massa específica (ponto de máximo local): T\approx274,7\\ \text{K}.

Exercícios relacionados