Aplicações na análise de Fourier e Laplace. Calcule:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral imprópria
Informações dadas e perguntas: temos o integrando
e o intervalo de integração é
. A tarefa é avaliar esse integral (verificar convergência e obter o valor numérico).
Passo 2
Simplificamos o integrando fatorando o denominador:
Para
podemos cancelar um fator
no numerador e no denominador, obtendo
Observação: a expressão original em
é indefinida, mas a simplificação mostra que para
o integrando é
. Vamos tratar a integral como imprópria por causa do infinito; perto de
o integrando é limitado (tende a
), então não há problema de divergência no extremo inferior.
Passo 3
Reescrevemos a integral usando a simplificação (válida em
):
Agora converte-se a integral imprópria em limite na parte superior:
Passo 4
Usamos a fórmula padrão (vou derivá-la rapidinho para você decorar): para
,
Demonstração curta: faça
. Então
e
Voltando, no nosso caso
então
. Portanto
Passo 5
Aplicamos o resultado à integral definida (usando o limite
):
Calculamos os limites das funções arco-tangente:
e
. Assim
Passo 6
Comentário final sobre convergência: perto de
o integrando simplificado
é contínuo e limitado (tende a
), e no infinito decai como
, o que garante convergência absoluta. Portanto o cálculo acima é legítimo e o valor final é válido.