Aplicações na análise de Fourier e Laplace. Calcule:
\int_{0}^{\infty} \frac{x d x}{x^{3}+4 x}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral imprópria
\int_{0}^{\infty} \frac{x\,dx}{x^{3}+4x}.
Informações dadas e perguntas: temos o integrando \frac{x}{x^{3}+4x} e o intervalo de integração é [0,\infty). A tarefa é avaliar esse integral (verificar convergência e obter o valor numérico).

Passo 2

Simplificamos o integrando fatorando o denominador:
x^{3}+4x = x(x^{2}+4).
Para x>0 podemos cancelar um fator x no numerador e no denominador, obtendo
\frac{x}{x^{3}+4x} = \frac{x}{x(x^{2}+4)} = \frac{1}{x^{2}+4},\qquad x>0.
Observação: a expressão original em x=0 é indefinida, mas a simplificação mostra que para x>0 o integrando é \frac{1}{x^{2}+4}. Vamos tratar a integral como imprópria por causa do infinito; perto de 0 o integrando é limitado (tende a \frac{1}{4}), então não há problema de divergência no extremo inferior.

Passo 3

Reescrevemos a integral usando a simplificação (válida em (0,\infty)):
\int_{0}^{\infty} \frac{x\,dx}{x^{3}+4x} = \int_{0}^{\infty} \frac{dx}{x^{2}+4}.
Agora converte-se a integral imprópria em limite na parte superior:
\int_{0}^{\infty} \frac{dx}{x^{2}+4} = \lim_{R\to\infty}\int_{0}^{R} \frac{dx}{x^{2}+4}.

Passo 4

Usamos a fórmula padrão (vou derivá-la rapidinho para você decorar): para a>0,
\int \frac{dx}{x^{2}+a^{2}} = \frac{1}{a}\arctan\!\left(\frac{x}{a}\right)+C.
Demonstração curta: faça u=\frac{x}{a}. Então du=\frac{dx}{a} e
\int \frac{dx}{x^{2}+a^{2}} = \int \frac{a\,du}{a^{2}u^{2}+a^{2}} = \int \frac{a\,du}{a^{2}(u^{2}+1)} = \frac{1}{a}\int \frac{du}{u^{2}+1} = \frac{1}{a}\arctan(u)+C.
Voltando, no nosso caso a^{2}=4 então a=2. Portanto
\int \frac{dx}{x^{2}+4} = \frac{1}{2}\arctan\!\left(\frac{x}{2}\right)+C.

Passo 5

Aplicamos o resultado à integral definida (usando o limite R\to\infty):
\lim_{R\to\infty}\int_{0}^{R}\frac{dx}{x^{2}+4} = \lim_{R\to\infty}\left[\frac{1}{2}\arctan\!\left(\frac{x}{2}\right)\right]_{0}^{R}.
Calculamos os limites das funções arco-tangente: \lim_{R\to\infty}\arctan\!\left(\frac{R}{2}\right)=\frac{\pi}{2} e \arctan(0)=0. Assim
\lim_{R\to\infty}\left(\frac{1}{2}\arctan\!\left(\frac{R}{2}\right)-\frac{1}{2}\arctan(0)\right)=\frac{1}{2}\cdot\frac{\pi}{2}-0=\frac{\pi}{4}.

Passo 6

Comentário final sobre convergência: perto de 0 o integrando simplificado \frac{1}{x^{2}+4} é contínuo e limitado (tende a \frac{1}{4}), e no infinito decai como 1/x^{2}, o que garante convergência absoluta. Portanto o cálculo acima é legítimo e o valor final é válido.

Resposta

\dfrac{\pi}{4}

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