Aplicações em análise de Fourier e sinais discretos. Calcule:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a soma
Informações dadas e o que está explícito no enunciado:
A soma é finita e tem exatamente
termos (porque
). Não há mais informações ocultas.
Passo 2
Vamos manipular a expressão termo a termo para ver uma estrutura mais simples. Use a propriedade dos expoentes: para quaisquer números positivos
e inteiros
,
ou, mais diretamente para nosso caso, podemos fatorar
que não depende de
. Assim:
Calcule a razão dentro da potência:
Portanto a soma fica
Explicação didática: ao fatorar
tiramos de dentro da soma todo o termo que não depende de
, restando uma soma de potências de uma única razão
— ou seja, uma série geométrica finita.
Passo 3
Lembrete da fórmula da soma de uma progressão geométrica finita. Se
,
Derivação rápida (útil para a prova): escreva
. Então
. Subtraindo,
logo
Aqui
,
e
. O número de termos
é
, como já notamos.
Passo 4
Aplique a fórmula com
,
,
:
Calcule as partes numéricas:
Substituindo,
Expliquei cada passo numérico para você poder reproduzir na prova sem depender de calculadora.
Passo 5
Volte ao fator
que tiramos no Passo 2. Temos:
Agora simplifique as potências juntas:
Multiplicando pelo fator
:
Observe que
, portanto
. Assim:
Passo 6
Verificação rápida para ganhar confiança (exemplo numérico): escolha
. A fórmula dá
Calculando diretamente a soma para
(é a mesma soma com
a
) obtemos o mesmo valor numérico — isso confirma que a manipulação algébrica está correta.