Aplicações em análise de Fourier e sinais discretos. Calcule:
\sum_{k=n-5}^{n}\left(\frac{1}{3}\right)^{k}\left(\frac{1}{2}\right)^{n-k}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a soma
\sum_{k=n-5}^{n}\left(\frac{1}{3}\right)^{k}\left(\frac{1}{2}\right)^{n-k}.
Informações dadas e o que está explícito no enunciado:
\text{Termos: }\left(\frac{1}{3}\right)^{k}\left(\frac{1}{2}\right)^{n-k},\quad k\text{ varia de }n-5\text{ até }n.é
A soma é finita e tem exatamente 6 termos (porque n-(n-5)+1=6). Não há mais informações ocultas.

Passo 2

Vamos manipular a expressão termo a termo para ver uma estrutura mais simples. Use a propriedade dos expoentes: para quaisquer números positivos a,b e inteiros x,y,
a^{x}b^{y} = b^{x+y}\left(\frac{a}{b}\right)^{x}
ou, mais diretamente para nosso caso, podemos fatorar \left(\frac{1}{2}\right)^{n} que não depende de k. Assim:
\left(\frac{1}{3}\right)^{k}\left(\frac{1}{2}\right)^{n-k} = \left(\frac{1}{2}\right)^{n}\left(\frac{1/3}{1/2}\right)^{k}.
Calcule a razão dentro da potência:
\frac{1/3}{1/2}=\frac{1}{3}\cdot\frac{2}{1}=\frac{2}{3}.
Portanto a soma fica
\sum_{k=n-5}^{n}\left(\frac{1}{3}\right)^{k}\left(\frac{1}{2}\right)^{n-k} = \left(\frac{1}{2}\right)^{n}\sum_{k=n-5}^{n}\left(\frac{2}{3}\right)^{k}.
Explicação didática: ao fatorar \left(\frac{1}{2}\right)^{n} tiramos de dentro da soma todo o termo que não depende de k, restando uma soma de potências de uma única razão \frac{2}{3} — ou seja, uma série geométrica finita.

Passo 3

Lembrete da fórmula da soma de uma progressão geométrica finita. Se r\neq 1,
\sum_{k=a}^{b} r^{k} = r^{a}\,\frac{1-r^{\,b-a+1}}{1-r}.
Derivação rápida (útil para a prova): escreva S=\sum_{k=a}^{b}r^{k}. Então rS=\sum_{k=a}^{b}r^{k+1}. Subtraindo,
(1-r)S = r^{a}-r^{b+1},
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S = r^{a}\frac{1-r^{\,b-a+1}}{1-r}.
Aqui a=n-5, b=n e r=\frac{2}{3}. O número de termos b-a+1 é 6, como já notamos.

Passo 4

Aplique a fórmula com r=\frac{2}{3}, a=n-5, b=n:
\sum_{k=n-5}^{n}\left(\frac{2}{3}\right)^{k} = \left(\frac{2}{3}\right)^{\,n-5}\frac{1-\left(\frac{2}{3}\right)^{6}}{1-\frac{2}{3}}.
Calcule as partes numéricas:
\left(\frac{2}{3}\right)^{6}=\frac{2^{6}}{3^{6}}=\frac{64}{729},
1-\left(\frac{2}{3}\right)^{6}=1-\frac{64}{729}=\frac{729-64}{729}=\frac{665}{729},
1-\frac{2}{3}=\frac{1}{3}.
Substituindo,
\sum_{k=n-5}^{n}\left(\frac{2}{3}\right)^{k} = \left(\frac{2}{3}\right)^{\,n-5}\cdot\frac{\frac{665}{729}}{\frac{1}{3}} = \left(\frac{2}{3}\right)^{\,n-5}\cdot\frac{665}{729}\cdot 3 = \left(\frac{2}{3}\right)^{\,n-5}\cdot\frac{665}{243}.
Expliquei cada passo numérico para você poder reproduzir na prova sem depender de calculadora.

Passo 5

Volte ao fator \left(\frac{1}{2}\right)^{n} que tiramos no Passo 2. Temos:
\sum_{k=n-5}^{n}\left(\frac{1}{3}\right)^{k}\left(\frac{1}{2}\right)^{n-k} = \left(\frac{1}{2}\right)^{n}\cdot\left(\frac{2}{3}\right)^{\,n-5}\cdot\frac{665}{243}.
Agora simplifique as potências juntas:
\left(\frac{1}{2}\right)^{n}\left(\frac{2}{3}\right)^{\,n-5} = \frac{2^{\,n-5}}{3^{\,n-5}}\cdot\frac{1}{2^{n}} = \frac{2^{\,n-5-n}}{3^{\,n-5}} = \frac{2^{-5}}{3^{\,n-5}} = \frac{1}{32}\cdot\frac{1}{3^{\,n-5}}.
Multiplicando pelo fator \dfrac{665}{243}:
\text{Soma} = \frac{665}{243}\cdot\frac{1}{32}\cdot\frac{1}{3^{\,n-5}}.
Observe que 243=3^{5}, portanto 243\cdot 3^{\,n-5}=3^{5}\cdot 3^{\,n-5}=3^{n}. Assim:
\text{Soma} = \frac{665}{32\cdot 3^{n}}.

Passo 6

Verificação rápida para ganhar confiança (exemplo numérico): escolha n=5. A fórmula dá
\frac{665}{32\cdot 3^{5}}=\frac{665}{32\cdot 243}=\frac{665}{7776}\approx 0,08553.
Calculando diretamente a soma para n=5 (é a mesma soma com k=0 a 5) obtemos o mesmo valor numérico — isso confirma que a manipulação algébrica está correta.

Resposta

\dfrac{665}{32\cdot 3^{n}}

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