Aplicações na análise de Fourier e Laplace. Calcule:
Passo 1
O enunciado pede o valor do integral definido
Informações relevantes fornecidas:
- O integrando é
. - Os limites de integração são
e .
A partir daqui vamos transformar e calcular esse integral passo a passo.
Passo 2
Motivação para a substituição: quando aparece um fator
é comum usar a substituição trigonométrica
, porque
. Vou explicar isso devagarinho:
é sen/tg de um ângulo; a identidade trigonométrica fundamental é
Isso simplifica potências de
. Portanto proponho a substituição
Passo 3
Calcular
e reescrever o integrando. Derivando
em relação a
,
Agora escrevemos
em termos de
:
Substituindo na expressão do integrando temos (faço em bloco para ficar claro):
Portanto a integral em
transforma-se numa integral em
com integrando
.
Passo 4
Trocar os limites de integração: quando
e
em
, obtemos os correspondentes
.
- Se
então e uma solução é . - Se
então e a solução principal no intervalo é .
Logo os novos limites sãoaté . Assim a integral fica
Passo 5
Integrar
: usamos a identidade (derivo-a rapidinho):
a identidade do cosseno de ângulo duplo é
a identidade do cosseno de ângulo duplo é
Isolando
obtemos
Essa identidade é útil porque transforma o quadrado numa soma de termos fáceis de integrar.
Passo 6
Substituindo a identidade na integral:
Agora calculamos cada parcela: a primiera é simples,
A segunda: para
a primitiva é
(porque derivando
dá
), então
Como
e
, essa parcela vale
.
Passo 7
Somando as duas parcelas obtidas:
Portanto voltando à variável original, o valor do integral pedido é
.