Aplicações na análise de Fourier e Laplace. Calcule:
\int_{0}^{1} \frac{d x}{\left(1+x^{2}\right)^{2}}

Passo 1

O enunciado pede o valor do integral definido
\int_{0}^{1} \frac{d x}{\left(1+x^{2}\right)^{2}}.
Informações relevantes fornecidas:
  • O integrando é \frac{1}{(1+x^{2})^{2}}.
  • Os limites de integração são x=0 e x=1.
    A partir daqui vamos transformar e calcular esse integral passo a passo.

Passo 2

Motivação para a substituição: quando aparece um fator 1+x^{2} é comum usar a substituição trigonométrica x=\tan t, porque \,1+\tan^{2}t=\operatorname{sec}^{2}t. Vou explicar isso devagarinho: \tan t é sen/tg de um ângulo; a identidade trigonométrica fundamental é
1+\tan^{2}t=\operatorname{sec}^{2}t.
Isso simplifica potências de 1+x^{2}. Portanto proponho a substituição
x=\tan t.

Passo 3

Calcular dx e reescrever o integrando. Derivando x=\tan t em relação a t,
dx=\operatorname{sec}^{2}t\,dt.
Agora escrevemos 1+x^{2} em termos de t:
1+x^{2}=1+\tan^{2}t=\operatorname{sec}^{2}t.
Substituindo na expressão do integrando temos (faço em bloco para ficar claro):
\frac{dx}{(1+x^{2})^{2}}=\frac{\operatorname{sec}^{2}t\,dt}{(\operatorname{sec}^{2}t)^{2}}=\frac{\operatorname{sec}^{2}t}{\operatorname{sec}^{4}t}\,dt=\cos^{2}t\,dt.
Portanto a integral em x transforma-se numa integral em t com integrando \cos^{2}t.

Passo 4

Trocar os limites de integração: quando x=0 e x=1 em x=\tan t, obtemos os correspondentes t.
  • Se x=0 então \tan t=0 e uma solução é t=0.
  • Se x=1 então \tan t=1 e a solução principal no intervalo [0,\pi/2) é t=\pi/4.
    Logo os novos limites são t=0 até t=\pi/4. Assim a integral fica
\int_{0}^{1} \frac{dx}{(1+x^{2})^{2}}=\int_{0}^{\pi/4}\cos^{2}t\,dt.

Passo 5

Integrar \cos^{2}t: usamos a identidade (derivo-a rapidinho):
a identidade do cosseno de ângulo duplo é
\cos(2t)=2\cos^{2}t-1.
Isolando \cos^{2}t obtemos
\cos^{2}t=\frac{1+\cos(2t)}{2}.
Essa identidade é útil porque transforma o quadrado numa soma de termos fáceis de integrar.

Passo 6

Substituindo a identidade na integral:
\int_{0}^{\pi/4}\cos^{2}t\,dt=\int_{0}^{\pi/4}\frac{1+\cos(2t)}{2}\,dt =\frac{1}{2}\int_{0}^{\pi/4}1\,dt+\frac{1}{2}\int_{0}^{\pi/4}\cos(2t)\,dt.
Agora calculamos cada parcela: a primiera é simples,
\frac{1}{2}\int_{0}^{\pi/4}1\,dt=\frac{1}{2}\left[t\right]_{0}^{\pi/4}=\frac{1}{2}\cdot\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{8}.
A segunda: para \int \cos(2t)\,dt a primitiva é \frac{1}{2}\sin(2t) (porque derivando \sin(2t) 2\cos(2t)), então
\frac{1}{2}\int_{0}^{\pi/4}\cos(2t)\,dt=\frac{1}{2}\cdot\left[\frac{1}{2}\sin(2t)\right]_{0}^{\pi/4}=\frac{1}{4}\left(\sin\left(\frac{\pi}{2}\right)-\sin 0\right).
Como \sin(\pi/2)=1 e \sin 0=0, essa parcela vale \frac{1}{4}.

Passo 7

Somando as duas parcelas obtidas:
\int_{0}^{\pi/4}\cos^{2}t\,dt=\frac{\pi}{8}+\frac{1}{4}.
Portanto voltando à variável original, o valor do integral pedido é \frac{\pi}{8}+\frac{1}{4}.

Resposta

\displaystyle \frac{\pi}{8}+\frac{1}{4}

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