Aplicações na análise de Fourier e Laplace. Calcule:
\int_{-\infty}^{\infty} \frac{e^{4 x} d x}{e^{4 x}+e^{2 x}}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral imprópria
\int_{-\infty}^{\infty} \frac{e^{4x}}{e^{4x}+e^{2x}}\,dx.
Informações dadas que vamos usar:
  • O integrando é a função x\mapsto \dfrac{e^{4x}}{e^{4x}+e^{2x}}.
  • Os limites de integração são x\to -\infty e x\to \infty.
  • Como os limites são infinitos, trata-se de uma integral imprópria — precisamos checar convergência.

Passo 2

Primeiro simplificamos o integrando para ficar mais claro. Fatore e^{2x} no numerador e denominador:
\frac{e^{4x}}{e^{4x}+e^{2x}} = \frac{e^{2x}\cdot e^{2x}}{e^{2x}\bigl(e^{2x}+1\bigr)} = \frac{e^{2x}}{e^{2x}+1}.
Isso já ajuda a entender o comportamento: quando x\to\infty temos e^{2x}\to\infty e a fração tende a 1; quando x\to-\infty temos e^{2x}\to0 e a fração tende a 0.

Passo 3

Para tratar a integral de forma explícita, fazemos a substituição padrão para exponenciais:
t = e^{2x}.
Então t>0 para todo x, e derivando obtemos
dt = 2e^{2x}\,dx = 2t\,dx \quad\Longrightarrow\quad dx=\frac{dt}{2t}.
Substituindo na integral (mudando os limites: x\to -\infty \Rightarrow t\to 0, x\to\infty \Rightarrow t\to\infty):
\int_{-\infty}^{\infty} \frac{e^{4x}}{e^{4x}+e^{2x}}\,dx = \int_{0}^{\infty} \frac{t}{t+1}\cdot\frac{dt}{2t} = \frac{1}{2}\int_{0}^{\infty}\frac{1}{t+1}\,dt.

Passo 4

Agora analisamos a integral obtida:
\frac{1}{2}\int_{0}^{\infty}\frac{1}{t+1}\,dt.
A primitiva de \dfrac{1}{t+1} é \ln(t+1). Avaliando nos limites:
\frac{1}{2}\lim_{R\to\infty}\bigl[\ln(t+1)\bigr]_{t=0}^{t=R} = \frac{1}{2}\lim_{R\to\infty}\bigl(\ln(R+1)-\ln 1\bigr) = \frac{1}{2}\lim_{R\to\infty}\ln(R+1).
Como \ln(R+1)\to\infty quando R\to\infty, a integral diverge (cresce sem limite).
Uma observação alternativa e intuitiva: como já vimos no Passo 2, o integrando tende a 1 quando x\to\infty. Integrar algo que se aproxima de 1 sobre um intervalo de comprimento infinito (para a direita) também leva à divergência — isto é, a “cauda” para x\to\infty contribui com área infinita.

Resposta

Diverge para +\infty

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