Aplicações na análise de Fourier e Laplace. Calcule:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral imprópria
Informações dadas que vamos usar:
- O integrando é a função
. - Os limites de integração são
e . - Como os limites são infinitos, trata-se de uma integral imprópria — precisamos checar convergência.
Passo 2
Primeiro simplificamos o integrando para ficar mais claro. Fatore
no numerador e denominador:
Isso já ajuda a entender o comportamento: quando
temos
e a fração tende a
; quando
temos
e a fração tende a
.
Passo 3
Para tratar a integral de forma explícita, fazemos a substituição padrão para exponenciais:
Então
para todo
, e derivando obtemos
Substituindo na integral (mudando os limites:
,
):
Passo 4
Agora analisamos a integral obtida:
A primitiva de
é
. Avaliando nos limites:
Como
quando
, a integral diverge (cresce sem limite).
Uma observação alternativa e intuitiva: como já vimos no Passo 2, o integrando tende a
quando
. Integrar algo que se aproxima de
sobre um intervalo de comprimento infinito (para a direita) também leva à divergência — isto é, a “cauda” para
contribui com área infinita.
Resposta
Diverge para