Aplicações na análise de Fourier e Laplace. Calcule:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral imprópria
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
Não há outras condições fornecidas (por exemplo, parâmetros). O intervalo é semi-infinito, logo trata-se de uma integral imprópria; devemos checar se ela converge e, se convergente, calcular seu valor.
Passo 2
Vamos examinar rapidamente os pontos que podem causar problemas (singularidades ou comportamento impróprio):
e
.
Verificação em :
Verificação em
pois para
muito pequeno o termo
é desprezível frente a
. Como
é integrável em
(porque
é finita), não esperamos divergência no ponto
.
Verificação em :
Verificação em
pois para
grande o termo
domina
. Sabemos que
diverge (logaritmicamente). Então já há suspeita de divergência no infinito; vamos confirmar rigorosamente com uma mudança de variável que facilita a análise.
Passo 3
Fazemos a primeira mudança de variável natural para eliminar a raiz: seja
Então
e
.
As novas limites: quando temos
; quando
temos
.
Substituindo na integral original:
As novas limites: quando
Substituindo na integral original:
Passo 4
Simplificamos a expressão do integrando fatorando
no denominador:
Portanto a integral fica
Observação didática: a vantagem dessa transformação é que agora o integrando está numa forma em que aparece
, o que permite outra substituição direta para integrar (ou pelo menos para identificar comportamento assintótico).
Passo 5
Fazemos a segunda mudança de variável para tratar
: seja
Então
, ou seja
.
Os limites: ;
.
Substituindo,
Os limites:
Substituindo,
Passo 6
A integral obtida é a integral do tipo logarítmico:
Mas
quando
. Portanto
e multiplicando pelo fator
obtemos que a integral original diverge para
:
Passo 7
Comentário de verificação alternativa (comparação): para
grande,
para algum
e
suficientemente grande (de fato, para
grande o denominador é equivalente a
, então o integrando é equivalente a
). Como
diverge, pela comparação direta a integral dada também diverge. Isso confirma o resultado obtido pela mudança de variáveis.
Passo 8
Conclusão clara e amigável: a integral é imprópria e não converge — ela diverge logaritmicamente para
. Não há valor finito a ser atribuído.
Resposta
Diverge para
.