Aplicações na análise de Fourier e Laplace. Calcule:
\int_{0}^{\infty} \frac{x d x}{x^{2}+\sqrt{x}}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral imprópria
\int_{0}^{\infty} \frac{x\,dx}{x^{2}+\sqrt{x}}.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
\text{integrando: }\frac{x}{x^{2}+\sqrt{x}},\qquad \text{intervalo de integração: }[0,\infty).çã
Não há outras condições fornecidas (por exemplo, parâmetros). O intervalo é semi-infinito, logo trata-se de uma integral imprópria; devemos checar se ela converge e, se convergente, calcular seu valor.

Passo 2

Vamos examinar rapidamente os pontos que podem causar problemas (singularidades ou comportamento impróprio): x=0 e x\to\infty.
Verificação em x\to 0^+:
\frac{x}{x^{2}+\sqrt{x}}\sim\frac{x}{\sqrt{x}}=x^{1/2},
pois para x muito pequeno o termo x^{2} é desprezível frente a \sqrt{x}. Como x^{1/2} é integrável em 0 (porque \int_{0} x^{1/2}dx é finita), não esperamos divergência no ponto 0.
Verificação em x\to\infty:
\frac{x}{x^{2}+\sqrt{x}}\sim\frac{x}{x^{2}}=\frac{1}{x},
pois para x grande o termo x^{2} domina \sqrt{x}. Sabemos que \int^{\infty}\frac{1}{x}dx diverge (logaritmicamente). Então já há suspeita de divergência no infinito; vamos confirmar rigorosamente com uma mudança de variável que facilita a análise.

Passo 3

Fazemos a primeira mudança de variável natural para eliminar a raiz: seja
t=\sqrt{x}.
Então x=t^{2} e dx=2t\,dt.
As novas limites: quando x=0 temos t=0; quando x\to\infty temos t\to\infty.
Substituindo na integral original:
\int_{0}^{\infty}\frac{x\,dx}{x^{2}+\sqrt{x}} =\int_{0}^{\infty}\frac{t^{2}\cdot(2t\,dt)}{t^{4}+t} =\int_{0}^{\infty}\frac{2t^{3}\,dt}{t^{4}+t}.

Passo 4

Simplificamos a expressão do integrando fatorando t no denominador:
\frac{2t^{3}}{t^{4}+t}=\frac{2t^{3}}{t(t^{3}+1)}=\frac{2t^{2}}{t^{3}+1}.
Portanto a integral fica
\int_{0}^{\infty}\frac{2t^{2}}{t^{3}+1}\,dt.
Observação didática: a vantagem dessa transformação é que agora o integrando está numa forma em que aparece t^{3}+1, o que permite outra substituição direta para integrar (ou pelo menos para identificar comportamento assintótico).

Passo 5

Fazemos a segunda mudança de variável para tratar t^{3}: seja
u=t^{3}.
Então du=3t^{2}\,dt, ou seja t^{2}\,dt=\dfrac{du}{3}.
Os limites: t=0\Rightarrow u=0; t\to\infty\Rightarrow u\to\infty.
Substituindo,
\int_{0}^{\infty}\frac{2t^{2}}{t^{3}+1}\,dt =\int_{0}^{\infty}\frac{2}{u+1}\cdot\frac{du}{3} =\frac{2}{3}\int_{0}^{\infty}\frac{du}{u+1}.

Passo 6

A integral obtida é a integral do tipo logarítmico:
\int_{0}^{\infty}\frac{du}{u+1}=\left[\ln(u+1)\right]_{0}^{\infty}.
Mas \ln(u+1)\to\infty quando u\to\infty. Portanto
\int_{0}^{\infty}\frac{du}{u+1}=+\infty,
e multiplicando pelo fator \dfrac{2}{3} obtemos que a integral original diverge para +\infty:
\frac{2}{3}\int_{0}^{\infty}\frac{du}{u+1}=+\infty.

Passo 7

Comentário de verificação alternativa (comparação): para x grande,
\frac{x}{x^{2}+\sqrt{x}}\geq C\cdot\frac{1}{x}
para algum C>0 e x suficientemente grande (de fato, para x grande o denominador é equivalente a x^{2}, então o integrando é equivalente a 1/x). Como \int^{\infty}\frac{1}{x}dx diverge, pela comparação direta a integral dada também diverge. Isso confirma o resultado obtido pela mudança de variáveis.

Passo 8

Conclusão clara e amigável: a integral é imprópria e não converge — ela diverge logaritmicamente para +\infty. Não há valor finito a ser atribuído.

Resposta

Diverge para +\infty.

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