Encontre o módulo e o argumento:
Passo 1
O enunciado pede que eu encontre o módulo e o argumento do número complexo obtido pelo produto
.
Informações dadas:
O que é pedido:
- O módulo de
, ou seja . - O argumento de
, ou seja .
Passo 2
Primeiro vou multiplicar os dois complexos de forma algébrica (tratando
como a unidade imaginária com
). Isso porque multiplicar e depois extrair módulo/argumento é um caminho direto e elementar.
Calculo do produto:
Vou expandir termo a termo:
Agora calculo cada termo:
Somando as partes reais e as partes imaginárias:
parte real: ,
parte imaginária: .
parte real:
parte imaginária:
Logo
Passo 3
Agora calculo o módulo usando a fórmula do módulo de um complexo: para
,
onde
é a parte real e
é a parte imaginária.
Aqui
e
. Então
Vou expandir os quadrados:
Somando:
Portanto
Passo 4
Para o argumento
posso usar que
onde
,
é a parte real e
a parte imaginária, desde que eu observe em qual quadrante o ponto
está para escolher corretamente
.
Aqui
(pois
) e
. Então
está no primeiro quadrante e o argumento principal
está entre
e
. Posso então calcular
Vou simplificar essa razão. Multiplico numerador e denominador por
:
Então
Passo 5
Agora preciso reconhecer qual ângulo tem tangente
. Uma forma prática é usar fórmulas de soma de ângulos. Sei que
Usando a fórmula
coloco
e
:
que é exatamente a razão que tínhamos inicialmente. Portanto
Em radianos isso é
Como conferência rápida:
e
garantem que este
é o argumento principal correto (primeiro quadrante).
Passo 6
Como checagem rápida (método alternativo e muito usado em prova): poderia ter começado convertendo cada fator para forma polar. Para registro:
Multiplicando módulos e somando argumentos:
o que confirma os resultados obtidos acima.