Encontre o módulo e o argumento:
(-1+i)(1-\sqrt{3} i)

Passo 1

O enunciado pede que eu encontre o módulo e o argumento do número complexo obtido pelo produto (-1+i)(1-\sqrt{3}\,i).
Informações dadas:
z_1 = -1 + i
z_2 = 1 - \sqrt{3}\,i
O que é pedido:
  • O módulo de z = z_1 z_2, ou seja |z|.
  • O argumento de z, ou seja \arg(z).

Passo 2

Primeiro vou multiplicar os dois complexos de forma algébrica (tratando i como a unidade imaginária com i^2=-1). Isso porque multiplicar e depois extrair módulo/argumento é um caminho direto e elementar.
Calculo do produto:
(-1+i)(1-\sqrt{3}\,i)
Vou expandir termo a termo:
(-1)\cdot 1 + (-1)\cdot(-\sqrt{3}\,i) + i\cdot 1 + i\cdot(-\sqrt{3}\,i).
Agora calculo cada termo:
(-1)\cdot 1 = -1,
(-1)\cdot(-\sqrt{3}\,i) = +\sqrt{3}\,i,
i\cdot 1 = i,
i\cdot(-\sqrt{3}\,i) = -\sqrt{3}\,i^2 = -\sqrt{3}(-1) = +\sqrt{3}.
Somando as partes reais e as partes imaginárias:
parte real: -1 + \sqrt{3} = \sqrt{3}-1,
parte imaginária: \sqrt{3}\,i + i = (\sqrt{3}+1)i.
Logo
z = (\sqrt{3}-1) + (\sqrt{3}+1)i.

Passo 3

Agora calculo o módulo usando a fórmula do módulo de um complexo: para z = a + bi,
|z| = \sqrt{a^2 + b^2},
onde a é a parte real e b é a parte imaginária.
Aqui a = \sqrt{3}-1 e b = \sqrt{3}+1. Então
|z| = \sqrt{(\sqrt{3}-1)^2 + (\sqrt{3}+1)^2}.
Vou expandir os quadrados:
(\sqrt{3}-1)^2 = 3 - 2\sqrt{3} + 1 = 4 - 2\sqrt{3},
(\sqrt{3}+1)^2 = 3 + 2\sqrt{3} + 1 = 4 + 2\sqrt{3}.
Somando:
(\sqrt{3}-1)^2 + (\sqrt{3}+1)^2 = (4 - 2\sqrt{3}) + (4 + 2\sqrt{3}) = 8.
Portanto
|z| = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}.

Passo 4

Para o argumento \arg(z) posso usar que
\tan(\theta) = \frac{b}{a},
onde \theta=\arg(z), a é a parte real e b a parte imaginária, desde que eu observe em qual quadrante o ponto (a,b) está para escolher corretamente \theta.
Aqui a = \sqrt{3}-1 > 0 (pois \sqrt{3}\approx1,732) e b = \sqrt{3}+1 > 0. Então z está no primeiro quadrante e o argumento principal \theta está entre 0 e \pi/2. Posso então calcular
\tan(\theta) = \frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}-1}.
Vou simplificar essa razão. Multiplico numerador e denominador por \sqrt{3}+1:
\frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}-1} = \frac{(\sqrt{3}+1)^2}{(\sqrt{3})^2 - 1^2} = \frac{4 + 2\sqrt{3}}{3-1} = \frac{4 + 2\sqrt{3}}{2} = 2 + \sqrt{3}.
Então
\tan(\theta) = 2 + \sqrt{3}.

Passo 5

Agora preciso reconhecer qual ângulo tem tangente 2+\sqrt{3}. Uma forma prática é usar fórmulas de soma de ângulos. Sei que
\tan(45^\circ) = 1 \quad\text{e}\quad \tan(30^\circ) = \frac{1}{\sqrt{3}}.
Usando a fórmula
\tan(\alpha+\beta) = \frac{\tan\alpha + \tan\beta}{1 - \tan\alpha\tan\beta},
coloco \alpha=45^\circ e \beta=30^\circ:
\tan(45^\circ + 30^\circ) = \frac{1 + \tfrac{1}{\sqrt{3}}}{1 - 1\cdot\tfrac{1}{\sqrt{3}}} = \frac{\tfrac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}}}{\tfrac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}}} = \frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}-1},
que é exatamente a razão que tínhamos inicialmente. Portanto
\theta = 45^\circ + 30^\circ = 75^\circ.
Em radianos isso é
\theta = \frac{5\pi}{12}.
Como conferência rápida: a>0 e b>0 garantem que este \theta é o argumento principal correto (primeiro quadrante).

Passo 6

Como checagem rápida (método alternativo e muito usado em prova): poderia ter começado convertendo cada fator para forma polar. Para registro:
|z_1| = |{-1+i}| = \sqrt{(-1)^2 + 1^2} = \sqrt{2},\quad \arg(z_1)=135^\circ=\tfrac{3\pi}{4},
|z_2| = |{1-\sqrt{3}i}| = \sqrt{1^2 + (\sqrt{3})^2} = 2,\quad \arg(z_2)=-60^\circ=-\tfrac{\pi}{3}.
Multiplicando módulos e somando argumentos:
|z| = \sqrt{2}\cdot 2 = 2\sqrt{2},\qquad \arg(z)=\tfrac{3\pi}{4} - \tfrac{\pi}{3} = \tfrac{5\pi}{12},
o que confirma os resultados obtidos acima.

Resposta

|(-1+i)(1-\sqrt{3}\,i)| = 2\sqrt{2}\n \arg\bigl((-1+i)(1-\sqrt{3}\,i)\bigr) = \dfrac{5\pi}{12}

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