Encontre o módulo e o argumento:
\frac{1+i}{2+\sqrt{3} i}

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: o módulo e o argumento do número complexo
\frac{1+i}{2+\sqrt{3}\,i}.
Informações dadas:
  • Numerador: 1+i.
  • Denominador: 2+\sqrt{3}\,i.
    A tarefa é calcular \left|\dfrac{1+i}{2+\sqrt{3}\,i}\right| e \arg\!\left(\dfrac{1+i}{2+\sqrt{3}\,i}\right).

Passo 2

Primeira ideia prática (que você deve usar na prova): para manipular frações com números complexos é muito conveniente “remover” o número imaginário do denominador multiplicando numerador e denominador pelo conjugado do denominador. O conjugado de a+bi é a-bi. Isso transforma o denominador em a^2+b^2 (um número real), porque
(a+bi)(a-bi)=a^2+b^2.
Vou aplicar isso aqui.

Passo 3

Multiplico numerador e denominador pelo conjugado do denominador 2-\sqrt{3}\,i:
\frac{1+i}{2+\sqrt{3}\,i}\cdot\frac{2-\sqrt{3}\,i}{2-\sqrt{3}\,i} =\frac{(1+i)(2-\sqrt{3}\,i)}{(2+\sqrt{3}\,i)(2-\sqrt{3}\,i)}.
O denominador fica, usando a^2+b^2 com a=2 e b=\sqrt{3}:
(2+\sqrt{3}\,i)(2-\sqrt{3}\,i)=2^2+(\sqrt{3})^2=4+3=7.

Passo 4

Agora calculo o numerador passo a passo. Expando (1+i)(2-\sqrt{3}\,i):
(1+i)(2-\sqrt{3}\,i)=1\cdot 2 + 1\cdot(-\sqrt{3}\,i) + i\cdot 2 + i\cdot(-\sqrt{3}\,i).
Reagrupando e lembrando que i^2=-1:
=2 -\sqrt{3}\,i + 2i -\sqrt{3}\,i^2 =2 -\sqrt{3}\,i + 2i +\sqrt{3}.
Agrupando parte real e imaginária:
= (2+\sqrt{3}) + i(2-\sqrt{3}).
Logo
\frac{1+i}{2+\sqrt{3}\,i} = \frac{2+\sqrt{3}}{7} + i\,\frac{2-\sqrt{3}}{7}.
Chamo a parte real de a e a parte imaginária de b, isto é
a=\frac{2+\sqrt{3}}{7},\qquad b=\frac{2-\sqrt{3}}{7}.

Passo 5

Agora o módulo. Lembrete (fórmula): o módulo de a+bi é
|a+bi|=\sqrt{a^2+b^2},
onde a é a parte real e b a parte imaginária. Aplico com os a e b acima:
\left|\frac{1+i}{2+\sqrt{3}\,i}\right| =\sqrt{\left(\frac{2+\sqrt{3}}{7}\right)^2+\left(\frac{2-\sqrt{3}}{7}\right)^2}.
Coloco fator comum 1/7:
=\frac{1}{7}\sqrt{(2+\sqrt{3})^2+(2-\sqrt{3})^2}.
Calculo as duas quadraturas:
(2+\sqrt{3})^2=4+4\sqrt{3}+3=7+4\sqrt{3},
(2-\sqrt{3})^2=4-4\sqrt{3}+3=7-4\sqrt{3}.
Somando:
(2+\sqrt{3})^2+(2-\sqrt{3})^2=(7+4\sqrt{3})+(7-4\sqrt{3})=14.
Portanto
\left|\frac{1+i}{2+\sqrt{3}\,i}\right|=\frac{1}{7}\sqrt{14}=\frac{\sqrt{14}}{7}.

Passo 6

Agora o argumento. Lembrete (fórmula): para z=a+bi com a>0 e b qualquer, o argumento principal pode ser obtido por
\arg(z)=\arctan\!\left(\frac{b}{a}\right),
mas atenção ao quadrante: quando a e b são ambos positivos estamos no primeiro quadrante e a fórmula acima vale diretamente. No nosso caso
a=\frac{2+\sqrt{3}}{7}>0,\qquad b=\frac{2-\sqrt{3}}{7}>0
porque 2-\sqrt{3}\approx0{,}268>0. Então estamos no primeiro quadrante e posso usar a fórmula diretamente:
\arg\!\left(\frac{1+i}{2+\sqrt{3}\,i}\right) =\arctan\!\left(\frac{\dfrac{2-\sqrt{3}}{7}}{\dfrac{2+\sqrt{3}}{7}}\right) =\arctan\!\left(\frac{2-\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}\right).

Passo 7

Posso simplificar a razão \dfrac{2-\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}} multiplicando numerador e denominador pelo conjugado 2-\sqrt{3}, se quiser uma forma alternativa:
\frac{2-\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}=\frac{(2-\sqrt{3})^2}{(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})}=\frac{(2-\sqrt{3})^2}{4-3}=(2-\sqrt{3})^2.
Calculando,
(2-\sqrt{3})^2=7-4\sqrt{3}.
Portanto outra forma útil é
\arg\!\left(\frac{1+i}{2+\sqrt{3}\,i}\right)=\arctan\!\bigl(7-4\sqrt{3}\bigr).
Também é interessante ver o argumento como diferença de arctangentes, vindo da divisão de formas polares: o numerador 1+i tem argumento \pi/4 e o denominador 2+\sqrt{3}\,i tem argumento \arctan\!\bigl(\tfrac{\sqrt{3}}{2}\bigr). Assim
\arg\!\left(\frac{1+i}{2+\sqrt{3}\,i}\right)=\frac{\pi}{4}-\arctan\!\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right).
Se quiser uma aproximação numérica,
\arg\!\left(\frac{1+i}{2+\sqrt{3}\,i}\right)\approx 0{,}0717\\ \text{rad}\approx 4{,}11^\circ.

Resposta

\left|\frac{1+i}{2+\sqrt{3}\,i}\right|=\frac{\sqrt{14}}{7}
\arg\!\left(\frac{1+i}{2+\sqrt{3}\,i}\right)=\arctan\!\left(\frac{2-\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}\right)=\frac{\pi}{4}-\arctan\!\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\approx 0{,}0717\\ \text{rad}\\ (\approx 4{,}11^\circ)

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