Encontre o módulo e o argumento: \frac{1+i}{2+\sqrt{3} i}
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: o módulo e o argumento do número complexo
\frac{1+i}{2+\sqrt{3}\,i}.
Informações dadas:
Numerador: 1+i.
Denominador: 2+\sqrt{3}\,i.
A tarefa é calcular \left|\dfrac{1+i}{2+\sqrt{3}\,i}\right| e \arg\!\left(\dfrac{1+i}{2+\sqrt{3}\,i}\right).
Passo 2
Primeira ideia prática (que você deve usar na prova): para manipular frações com números complexos é muito conveniente “remover” o número imaginário do denominador multiplicando numerador e denominador pelo conjugado do denominador. O conjugado de a+bi é a-bi. Isso transforma o denominador em a^2+b^2 (um número real), porque
(a+bi)(a-bi)=a^2+b^2.
Vou aplicar isso aqui.
Passo 3
Multiplico numerador e denominador pelo conjugado do denominador 2-\sqrt{3}\,i:
Posso simplificar a razão \dfrac{2-\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}} multiplicando numerador e denominador pelo conjugado 2-\sqrt{3}, se quiser uma forma alternativa:
Também é interessante ver o argumento como diferença de arctangentes, vindo da divisão de formas polares: o numerador 1+i tem argumento \pi/4 e o denominador 2+\sqrt{3}\,i tem argumento \arctan\!\bigl(\tfrac{\sqrt{3}}{2}\bigr). Assim