A partir das relações:
\cos (a+b)=\cos (a) \cos (b)-\sin (a) \sin (b), \quad \sin (a+b)=\sin (a) \cos (b)+\cos (a) \sin (b)
obtenha:
\sin (m \theta) \sin (n \theta)

Passo 1

O enunciado dá duas relações trigonométricas conhecidas:
\cos(a+b)=\cos(a)\cos(b)-\sin(a)\sin(b),
\sin(a+b)=\sin(a)\cos(b)+\cos(a)\sin(b).
O que se pede: obter uma expressão para \sin(m\theta)\sin(n\theta) em termos de somas ou diferenças de cossenos (ou de funções mais simples). As informações relevantes são exatamente as duas fórmulas acima e que podemos escolher a e b como quisermos (vai-se usar a=m\theta e b=n\theta no final).

Passo 2

Primeiro vamos obter a fórmula para \cos(a-b). Use a fórmula de soma com b trocado por -b. Note que a função cosseno é par e a função seno é ímpar, ou seja:
\cos(-b)=\cos(b),\qquad \sin(-b)=-\sin(b).
Aplicando \cos(a+(-b)) na fórmula dada, obtemos
\cos(a-b)=\cos(a)\cos(-b)-\sin(a)\sin(-b).
Substituindo as propriedades de paridade:
\cos(a-b)=\cos(a)\cos(b)-\sin(a)(-\,\sin(b))=\cos(a)\cos(b)+\sin(a)\sin(b).
Assim temos explicitamente
\cos(a-b)=\cos(a)\cos(b)+\sin(a)\sin(b).

Passo 3

Agora escrevo as duas expressões para \cos(a-b) e \cos(a+b) juntas:
\cos(a-b)=\cos(a)\cos(b)+\sin(a)\sin(b),
\cos(a+b)=\cos(a)\cos(b)-\sin(a)\sin(b).
Se eu subtrair a segunda da primeira (isto é, \cos(a-b)-\cos(a+b)), os termos com \cos(a)\cos(b) se cancelam e os termos com \sin(a)\sin(b) somam. Faço isso passo a passo:
\cos(a-b)-\cos(a+b) = \big(\cos(a)\cos(b)+\sin(a)\sin(b)\big) - \big(\cos(a)\cos(b)-\sin(a)\sin(b)\big).
Simplificando o lado direito:
\cos(a-b)-\cos(a+b) = 2\sin(a)\sin(b).

Passo 4

Isolando o produto \sin(a)\sin(b) da última igualdade, dividimos por 2:
\sin(a)\sin(b)=\tfrac{1}{2}\big(\cos(a-b)-\cos(a+b)\big).
Esta é a identidade produto-para-soma que queríamos obter: transforma o produto de senos numa média (meio) da diferença de cossenos.

Passo 5

Agora substituímos a=m\theta e b=n\theta (essas substituições são permitidas para quaisquer números reais m,n,\theta). Fazendo a troca na fórmula:
\sin(m\theta)\sin(n\theta)=\tfrac{1}{2}\big(\cos((m\theta)-(n\theta))-\cos((m\theta)+(n\theta))\big).
Agrupando os argumentos:
\sin(m\theta)\sin(n\theta)=\tfrac{1}{2}\big(\cos((m-n)\theta)-\cos((m+n)\theta)\big).

Passo 6

Vamos checar com um exemplo numérico rápido para ganhar confiança. Tome \theta=\tfrac{\pi}{6}, m=2, n=1. Calculamos diretamente:
\sin(2\theta)\sin(\theta)=\sin\!\big(\tfrac{\pi}{3}\big)\sin\!\big(\tfrac{\pi}{6}\big)=\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{3}}{4}.
Pela fórmula:
\tfrac{1}{2}\big(\cos((2-1)\theta)-\cos((2+1)\theta)\big)=\tfrac{1}{2}\big(\cos(\tfrac{\pi}{6})-\cos(\tfrac{\pi}{2})\big)=\tfrac{1}{2}\big(\tfrac{\sqrt{3}}{2}-0\big)=\frac{\sqrt{3}}{4},
confere — a identidade está correta.

Passo 7

Resumo prático para prova: sempre que aparecer \sin(A)\sin(B) e você quiser somas ou diferenças de ângulos (por exemplo para integrar, somar séries, simplificar expressão), use
\sin(A)\sin(B)=\tfrac{1}{2}\big(\cos(A-B)-\cos(A+B)\big),
e no caso pedido substitua A=m\theta e B=n\theta.

Resposta

\sin(m\theta)\sin(n\theta)=\tfrac{1}{2}\big(\cos((m-n)\theta)-\cos((m+n)\theta)\big)

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