A partir das relações:
obtenha:
Passo 1
O enunciado dá duas relações trigonométricas conhecidas:
O que se pede: obter uma expressão para
em termos de somas ou diferenças de cossenos (ou de funções mais simples). As informações relevantes são exatamente as duas fórmulas acima e que podemos escolher
e
como quisermos (vai-se usar
e
no final).
Passo 2
Primeiro vamos obter a fórmula para
. Use a fórmula de soma com
trocado por
. Note que a função cosseno é par e a função seno é ímpar, ou seja:
Aplicando
na fórmula dada, obtemos
Substituindo as propriedades de paridade:
Assim temos explicitamente
Passo 3
Agora escrevo as duas expressões para
e
juntas:
Se eu subtrair a segunda da primeira (isto é,
), os termos com
se cancelam e os termos com
somam. Faço isso passo a passo:
Simplificando o lado direito:
Passo 4
Isolando o produto
da última igualdade, dividimos por
:
Esta é a identidade produto-para-soma que queríamos obter: transforma o produto de senos numa média (meio) da diferença de cossenos.
Passo 5
Agora substituímos
e
(essas substituições são permitidas para quaisquer números reais
). Fazendo a troca na fórmula:
Agrupando os argumentos:
Passo 6
Vamos checar com um exemplo numérico rápido para ganhar confiança. Tome
,
,
. Calculamos diretamente:
Pela fórmula:
confere — a identidade está correta.
Passo 7
Resumo prático para prova: sempre que aparecer
e você quiser somas ou diferenças de ângulos (por exemplo para integrar, somar séries, simplificar expressão), use
e no caso pedido substitua
e
.