A partir das relações:
\cos (a+b)=\cos (a) \cos (b)-\sin (a) \sin (b), \quad \sin (a+b)=\sin (a) \cos (b)+\cos (a) \sin (b)
obtenha:
\cos ^{2}(\theta)

Passo 1

O enunciado fornece as identidades de soma de ângulos
\cos(a+b)=\cos(a)\cos(b)-\sin(a)\sin(b), \qquad \sin(a+b)=\sin(a)\cos(b)+\cos(a)\sin(b)
e pede para obter \cos^{2}(\theta).
Informações relevantes dadas: as fórmulas acima são válidas para quaisquer ângulos a e b.
O que será feito: vamos usar a primeira fórmula com ângulos específicos e a identidade pitagórica para reescrever \cos^{2}(\theta) de forma prática.

Passo 2

A ideia natural é escolher a=b=\theta na identidade para soma de cossenos, porque isso produz um ângulo duplo e relaciona \cos(2\theta) com quadrados de seno e cosseno. Substituindo a=b=\theta em \cos(a+b) obtemos:
\cos(2\theta)=\cos(\theta)\cos(\theta)-\sin(\theta)\sin(\theta).
Como \cos(\theta)\cos(\theta)=\cos^{2}(\theta) e \sin(\theta)\sin(\theta)=\sin^{2}(\theta), temos
\cos(2\theta)=\cos^{2}(\theta)-\sin^{2}(\theta).

Passo 3

Agora precisamos eliminar \sin^{2}(\theta) para ficar só com \cos^{2}(\theta). Para isso usamos a identidade pitagórica fundamental:
\sin^{2}(\theta)+\cos^{2}(\theta)=1.
Explicação dessa identidade: ela vem da relação entre seno e cosseno num triângulo retângulo unitário ou da definição trigonométrica no círculo unitário — as componentes x=\cos(\theta) e y=\sin(\theta) de um ponto no círculo unitário satisfazem x^{2}+y^{2}=1. Dessa identidade isolamos
\sin^{2}(\theta)=1-\cos^{2}(\theta).

Passo 4

Substituímos \sin^{2}(\theta)=1-\cos^{2}(\theta) em \cos(2\theta)=\cos^{2}(\theta)-\sin^{2}(\theta). Fazendo a substituição:
\cos(2\theta)=\cos^{2}(\theta)-\bigl(1-\cos^{2}(\theta)\bigr).
Agora desenvolvendo os parênteses:
\cos(2\theta)=\cos^{2}(\theta)-1+\cos^{2}(\theta)=2\cos^{2}(\theta)-1.

Passo 5

Isolamos \cos^{2}(\theta) a partir da igualdade encontrada. Partimos de
\cos(2\theta)=2\cos^{2}(\theta)-1.
Somando 1 em ambos os lados obtemos
\cos(2\theta)+1=2\cos^{2}(\theta).
Finalmente, dividindo ambos os lados por 2 isolamos \cos^{2}(\theta). (O próximo passo mostra a forma final.)

Passo 6

Cheque rápido com um exemplo numérico para ganhar confiança: seja \theta=30^\circ. Sabemos que \cos(30^\circ)=\dfrac{\sqrt{3}}{2}, então \cos^{2}(30^\circ)=\dfrac{3}{4}. Usando a relação com \cos(2\theta)=\cos(60^\circ)=\dfrac{1}{2}, a fórmula que obtivemos dá o mesmo valor (verifique dividindo 1+\cos(60^\circ) por 2): consistência confirmada.

Resposta

\displaystyle \cos^{2}(\theta)=\frac{1+\cos(2\theta)}{2}

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