A partir das relações:
obtenha:
Passo 1
O enunciado fornece as identidades de soma de ângulos
e pede para obter
.
Informações relevantes dadas: as fórmulas acima são válidas para quaisquer ângulos e
.
O que será feito: vamos usar a primeira fórmula com ângulos específicos e a identidade pitagórica para reescrever de forma prática.
Informações relevantes dadas: as fórmulas acima são válidas para quaisquer ângulos
O que será feito: vamos usar a primeira fórmula com ângulos específicos e a identidade pitagórica para reescrever
Passo 2
A ideia natural é escolher
na identidade para soma de cossenos, porque isso produz um ângulo duplo e relaciona
com quadrados de seno e cosseno. Substituindo
em
obtemos:
Como
e
, temos
Passo 3
Agora precisamos eliminar
para ficar só com
. Para isso usamos a identidade pitagórica fundamental:
Explicação dessa identidade: ela vem da relação entre seno e cosseno num triângulo retângulo unitário ou da definição trigonométrica no círculo unitário — as componentes
e
de um ponto no círculo unitário satisfazem
. Dessa identidade isolamos
Passo 4
Substituímos
em
. Fazendo a substituição:
Agora desenvolvendo os parênteses:
Passo 5
Isolamos
a partir da igualdade encontrada. Partimos de
Somando
em ambos os lados obtemos
Finalmente, dividindo ambos os lados por
isolamos
. (O próximo passo mostra a forma final.)
Passo 6
Cheque rápido com um exemplo numérico para ganhar confiança: seja
. Sabemos que
, então
. Usando a relação com
, a fórmula que obtivemos dá o mesmo valor (verifique dividindo
por
): consistência confirmada.