(Aplicações Bilineares Contínuas) Sejam X, Y e Z espaços vetoriais normados sobre K e B: X times Y X uma aplicação bilinear. Mostre que as seguintes condições são equivalentes:
(a) B é contínua;
(b) B é contínua na origem (0,0) in X times Y;
(c) Existe M>0 tal que |B(x, y)| <= M|x||y| para quaisquer x in X, y in Y.

Passo 1

O enunciado trata de uma aplicação bilinear Bcolon Xtimes Yto Z entre espaços vetoriais normados e pede para mostrar a equivalência entre:
(a) B é contínua em todo Xtimes Y;
(b) B é contínua na origem (0,0);
(c) existe constante M>0 tal que
|B(x,y)|<= M,|x|,|y|
para quaisquer xin X e yin Y.
O conteúdo principal é: usar a definição de continuidade e a bilinearidade para passar de continuidade na origem a um estimador bilinear uniforme, e vice-versa.

Passo 2

Mostramos primeiro que (a)implies(b).
Se B é contínua em todo ponto de Xtimes Y, então em particular é contínua em (0,0).

Passo 3

Agora (b)implies(c).
Como B é contínua em (0,0), existe de<a>0 tal que
|(x,y)|Xtimes Y<de<a Longrightarrow |B(x,y)|<1,
onde |(x,y)|Xtimes Y=|x|+|y|.
Dados xneq0 e yneq0, definimos
u=de<a2|x|,x, v=de<a2|y|,y
Então |u|=|v|=tfracde<a2, logo |u|+|v|=de<a e vale |B(u,v)|<1.
Pela bilinearidade,
B(x,y) =Bl(tfrac2|x|de<a,u,;tfrac2|y|de<a,vr) =2|x|de<a,2|y|de<a,B(u,v)
Tomando norma e usando |B(u,v)|<1, obtemos
|B(x,y)| <=4de<a^2,|x|,|y|
Basta então definir M=4/de<a^2 para garantir a desigualdade desejada.

Passo 4

Finalmente (c)implies(a).
Se existe M>0 com |B(x,y)|<= M|x||y|, então para qualquer (x,y) e (x',y') temos, usando bilinearidade,
B(x',y')-B(x,y) =B(x'-x,y')+B(x,y'-y)
Logo
|B(x',y')-B(x,y)| <= M,|x'-x|;|y'|+M,|x|;|y'-y|
Isso mostra que se (x',y')to(x,y) em Xtimes Y, então o lado direito tende a zero, provando que B é contínua em (x,y).

Resposta

As três condições são equivalentes.

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