(Aplicações Bilineares Contínuas) Sejam
e
espaços vetoriais normados sobre
e
uma aplicação bilinear. Mostre que as seguintes condições são equivalentes:
(a)
é contínua;
(b)
é contínua na origem
;
(c) Existe
tal que
para quaisquer
.
(a)
(b)
(c) Existe
Passo 1
O enunciado trata de uma aplicação bilinear
entre espaços vetoriais normados e pede para mostrar a equivalência entre:
(a) é contínua em todo
;
(b) é contínua na origem
;
(c) existe constante tal que
(a)
(b)
(c) existe constante
para quaisquer
e
.
O conteúdo principal é: usar a definição de continuidade e a bilinearidade para passar de continuidade na origem a um estimador bilinear uniforme, e vice-versa.
O conteúdo principal é: usar a definição de continuidade e a bilinearidade para passar de continuidade na origem a um estimador bilinear uniforme, e vice-versa.
Passo 2
Mostramos primeiro que
.
Se é contínua em todo ponto de
, então em particular é contínua em
.
Se
Passo 3
Agora
.
Como é contínua em
, existe
tal que
Como
onde
.
Dados e
, definimos
Dados
Então
, logo
e vale
.
Pela bilinearidade,
Pela bilinearidade,
Tomando norma e usando
, obtemos
Basta então definir
para garantir a desigualdade desejada.
Passo 4
Finalmente
.
Se existe com
, então para qualquer
e
temos, usando bilinearidade,
Se existe
Logo
Isso mostra que se
em
, então o lado direito tende a zero, provando que
é contínua em
.
Resposta
As três condições são equivalentes.