Sejam X=C^1[0,1] o espaço das funções com a primeira derivada contínua e Y=C[0,1], ambos com a norma do supremo. Mostre que o operador derivação D: X Y tem gráfico fechado, mas não é contínuo. Conclusão?

Passo 1

O enunciado define X=C^1[0,1] com a norma do supremo |f|=supxin[0,1]|f(x)| e Y=C[0,1] com a mesma norma. O operador é
Dcolon Xto Y, D(f)=f'
Queremos mostrar (i) o gráfico de D é fechado em Xtimes Y e (ii) D não é contínuo. O conteúdo usado será a definição de gráfico fechado e um contra-exemplo para não continuidade.

Passo 2

Provar que o gráfico de D é fechado significa: se (fn,f'n)to(f,g) em Xtimes Y, então g=f'. De fato,
  • |fn-f|to0 e |f'n-g|to0 implicam que fnto f uniformemente e f'nto g uniformemente.
  • Para cada xin[0,1] vale a fórmula do teorema fundamental do cálculo: fn(x)-fn(0)=integral0^x f'n(t),dt Fazendo ntoinfty dentro de cada termo, obtemos f(x)-f(0)=integral0^x g(t),dt Isso mostra que f é diferenciável e f'(x)=g(x) para todo x. Logo (f,g) pertence ao gráfico de D, e o gráfico é fechado.

Passo 3

Para ver que D não é contínuo (ou seja, não é limitado), basta achar fnin X com |fn|to0 mas |D(fn)|notto0. Tome
fn(x)=sin(nx)n
Então
|fn|=supx l|tfracsin(nx)nr|=1nto0,
porém
D(fn)(x)=fn'(x)=cos(nx) Longrightarrow |D(fn)|=supx|cos(nx)|=1
Portanto |D(fn)|/|fn|=ntoinfty e D não é contínuo.

Passo 4

Conclusão: temos um operador com gráfico fechado mas não contínuo. Isso mostra que o Teorema do Gráfico Fechado (que garante continuidade) exige que o espaço domínio seja Banach. Aqui X=C^1[0,1] com a norma do supremo não é completo, logo o teorema não se aplica e D pode falhar em ser contínuo.

Resposta

O gráfico de D é fechado, mas D não é contínuo. Concluímos que, sem completude de X, o Teorema do Gráfico Fechado não garante a continuidade de D.

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