Sejam o espaço das funções com a primeira derivada contínua e , ambos com a norma do supremo. Mostre que o operador derivação tem gráfico fechado, mas não é contínuo. Conclusão?
Passo 1
O enunciado define com a norma do supremo e com a mesma norma. O operador é
Queremos mostrar (i) o gráfico de é fechado em e (ii) não é contínuo. O conteúdo usado será a definição de gráfico fechado e um contra-exemplo para não continuidade.
Passo 2
Provar que o gráfico de é fechado significa: se em , então . De fato,
e implicam que uniformemente e uniformemente.
Para cada vale a fórmula do teorema fundamental do cálculo:Fazendo dentro de cada termo, obtemosIsso mostra que é diferenciável e para todo . Logo pertence ao gráfico de , e o gráfico é fechado.
Passo 3
Para ver que não é contínuo (ou seja, não é limitado), basta achar com mas . Tome
Portanto |D(fn)|/|fn|=ntoinfty e D não é contínuo.
Passo 4
Conclusão: temos um operador com gráfico fechado mas não contínuo. Isso mostra que o Teorema do Gráfico Fechado (que garante continuidade) exige que o espaço domínio seja Banach. Aqui X=C^1[0,1] com a norma do supremo não é completo, logo o teorema não se aplica e D pode falhar em ser contínuo.
Resposta
O gráfico de D é fechado, mas D não é contínuo. Concluímos que, sem completude de X, o Teorema do Gráfico Fechado não garante a continuidade de D.