Mostre que toda bilinear separadamente contínua (ou seja, contínua na primeira variável e contínua na segunda separadamente) definida em espaços de Banach é contínua. Sugestão: Use o Princípio da Limitação Uniforme.
Passo 1
O enunciado diz respeito a uma aplicação bilinear
,
onde ,
e
são espaços de Banach, e sabemos que
é contínua em cada variável separadamente.
O que queremos provar é que é de fato contínua (ou seja, existe constante
tal que
onde
O que queremos provar é que
)
A sugestão é usar o Princípio da Limitação Uniforme (ou Banach–Steinhaus).
A sugestão é usar o Princípio da Limitação Uniforme (ou Banach–Steinhaus).
Passo 2
Para cada
, definimos o operador linear
Como
é contínua na primeira variável para cada
fixo,
é um operador linear continuamente definido em
. Logo, para cada
existe
Passo 3
Agora consideramos a família de operadores lineares
em . Para aplicar o Princípio da Limitação Uniforme, precisamos checar que para cada vetor fixo
vale
em
Mas para cada
fixo a aplicação
é linear e contínua (pela continuidade em
), logo é limitada em toda bola de raio
em
. Portanto esse supremo é finito.
Passo 4
Pelo Princípio da Limitação Uniforme (Banach–Steinhaus), a família
é uniformemente limitada. Assim, existe constante
tal que
Isto é,
Passo 5
Para
e
definimos
e
. Então
e
Isso mostra que
isto é,
é uma aplicação bilinear limitada e, portanto, contínua.
Resposta
A aplicação bilinear
satisfaz
para algum
e todos
,
. Logo,
é contínua.