Mostre que toda bilinear separadamente contínua (ou seja, contínua na primeira variável e contínua na segunda separadamente) definida em espaços de Banach é contínua. Sugestão: Use o Princípio da Limitação Uniforme.

Passo 1

O enunciado diz respeito a uma aplicação bilinear
Bcolon X times Y to Z,
onde X, Y e Z são espaços de Banach, e sabemos que B é contínua em cada variável separadamente.
O que queremos provar é que B é de fato contínua (ou seja, existe constante C tal que
|B(x,y)| <= C cdot |x| cdot |y| para todos x in X,; y in Y
)
A sugestão é usar o Princípio da Limitação Uniforme (ou Banach–Steinhaus).

Passo 2

Para cada yin Y, definimos o operador linear
Tycolon Xto Z, Ty(x)=B(x,y)
Como B é contínua na primeira variável para cada y fixo, Ty é um operador linear continuamente definido em X. Logo, para cada y existe
|Ty| ;=;sup|x|<=1|B(x,y)| ;<;infty

Passo 3

Agora consideramos a família de operadores lineares
,Ty : |y|<=1
em X. Para aplicar o Princípio da Limitação Uniforme, precisamos checar que para cada vetor fixo xin X vale
sup|y|<=1|Ty(x)| =sup|y|<=1|B(x,y)| <infty
Mas para cada x fixo a aplicação ymapsto B(x,y) é linear e contínua (pela continuidade em y), logo é limitada em toda bola de raio 1 em Y. Portanto esse supremo é finito.

Passo 4

Pelo Princípio da Limitação Uniforme (Banach–Steinhaus), a família Ty:|y|<=1 é uniformemente limitada. Assim, existe constante M>0 tal que
|Ty|<= M para todo y com |y|<=1
Isto é,
sup|x|<=1,;|y|<=1|B(x,y)|;<= M

Passo 5

Para xneq0 e yneq0 definimos x'=x/|x| e y'=y/|y|. Então |x'|=|y'|=1 e
|B(x,y)| =|B(|x|x',|y|y')| =|x|,|y|;|B(x',y')| <=|x|,|y|;M
Isso mostra que
|B(x,y)|<= M,|x|,|y| para todos x,y,
isto é, B é uma aplicação bilinear limitada e, portanto, contínua.

Resposta

A aplicação bilinear B satisfaz
|B(x,y)|<= M,|x|,|y|
para algum M>0 e todos xin X, yin Y. Logo, B é contínua.

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