Seja
um espaço de Banach de dimensão infinita e considere uma base algébrica
de
. Então
é não enumerável pelo exercício anterior. Considere os funcionais coordenados
. Mostre que apenas um número finito destes funcionais são contínuos.
Passo 1
O enunciado diz que
é um espaço de Banach de dimensão infinita e que
é uma base algébrica de
(com
não enumerável). Para cada
definimos o funcional coordenado
que envia
que envia
(com
finito) no escalar
(sendo zero se
). Queremos mostrar que apenas um número finito desses funcionais
pode ser contínuo (isto é, limitado). Vamos usar o Teorema de Categoria de Baire e o fato de que vetores em
têm suporte finito.
Passo 2
Suponha, por contradi\c{c}~ao, que haja infinitamente muitos
tais que
cont’inuo. Ent~ao existe um sub-conjunto cont’avel infinito
tal que cada
(para
)
cont’inuo.
Passo 3
Para cada
, considere o núcleo
Como
é contínuo,
é um subespaço fechado e próprio de
. Em particular, cada
tem interior vazio (subespaço fechado próprio num Banach é de categoria de primeira).
Passo 4
Mostramos que
De fato, dado qualquer vetor
com finito, como
é infinito, há algum
. Para esse
temos
, logo
. Assim todo
cai em pelo menos um dos
.
com
Passo 5
Pela Forma Fraca do Teorema de Baire, um espaço de Banach não pode ser união contável de conjuntos fechados com interior vazio. Mas temos
com
contável e cada
fechado de interior vazio. Contradição. Logo não pode haver infinitamente muitos funcionais coordenados contínuos.
Resposta
Apenas um número finito de funcionais
pode ser contínuo.