Seja X um espaço de Banach de dimensão infinita e considere uma base algébrica B=xi: i in I de X. Então I é não enumerável pelo exercício anterior. Considere os funcionais coordenados xi^*, i in I. Mostre que apenas um número finito destes funcionais são contínuos.

Passo 1

O enunciado diz que X é um espaço de Banach de dimensão infinita e que B = xi: iin I é uma base algébrica de X (com I não enumerável). Para cada iin I definimos o funcional coordenado
;xi^*colon XtoK
que envia
x = sumjin F alphaj,xj
(com Fsubset I finito) no escalar alphai (sendo zero se inotin F). Queremos mostrar que apenas um número finito desses funcionais xi^* pode ser contínuo (isto é, limitado). Vamos usar o Teorema de Categoria de Baire e o fato de que vetores em X têm suporte finito.

Passo 2

Suponha, por contradi\c{c}~ao, que haja infinitamente muitos 'indices iin I tais que xi^* 'e cont’inuo. Ent~ao existe um sub-conjunto cont’avel infinito
J = j1,j2,j3,dotssubset I
tal que cada xj^* (para jin J) 'e cont’inuo.

Passo 3

Para cada jin J, considere o núcleo
Mj = ker(xj^*) = ,xin X : xj^*(x)=0
Como xj^* é contínuo, Mj é um subespaço fechado e próprio de X. Em particular, cada Mj tem interior vazio (subespaço fechado próprio num Banach é de categoria de primeira).

Passo 4

Mostramos que
X ;=;cupjin J Mj
De fato, dado qualquer vetor
;x=sumiin Falphai,xi
com Fsubset I finito, como J é infinito, há algum jin Jsetminus F. Para esse j temos xj^*(x)=0, logo xin Mj. Assim todo xin X cai em pelo menos um dos Mj.

Passo 5

Pela Forma Fraca do Teorema de Baire, um espaço de Banach não pode ser união contável de conjuntos fechados com interior vazio. Mas temos
X = cupjin J Mj
com J contável e cada Mj fechado de interior vazio. Contradição. Logo não pode haver infinitamente muitos funcionais coordenados contínuos.

Resposta

Apenas um número finito de funcionais xi^* pode ser contínuo.

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