Uma das aplicações das derivadas é a obtenção da equação de retas tangentes a determinadas curvas em um ponto. Obter a equação da reta tangente a cada uma das curvas abaixo no ponto P indicado:
Obs.: y-y_{p}=g^{\prime}\left(x_{p}\right) .\left(x-x_{p}\right) é a equação da reta tangente à curva y=g(x) no ponto ( x_{p}, y_{p} )
y=x /\left(x^{2}+1\right), P(0,0)

Passo 1

O enunciado pede a reta tangente à curva
y = \frac{x}{x^2 + 1}
no ponto P(0,0).
O conteúdo envolvido é derivação de funções racionais e aplicação da fórmula da reta tangente
y - y_{p} = g'(x_{p})\,(x - x_{p}).

Passo 2

Calcular a derivada g'(x) da função g(x)=\frac{x}{x^2+1} usando a regra do quociente:
g'(x) = \frac{(1)\,(x^2+1) - x\,(2x)}{(x^2+1)^{2}} = \frac{x^2 + 1 - 2x^2}{(x^2+1)^{2}} = \frac{1 - x^2}{(x^2+1)^{2}}.

Passo 3

Avaliar a derivada em x_{p}=0:
g'(0) = \frac{1 - 0^2}{(0^2+1)^{2}} = \frac{1}{1} = 1.

Passo 4

Construir a equação da reta tangente em P(0,0):
y - y_{p} = g'(x_{p})\,(x - x_{p}) \quad\Longrightarrow\quad y - 0 = 1\,(x - 0) \quad\Longrightarrow\quad y = x.

Resposta

y = x

Exercícios relacionados