Uma das aplicações das derivadas é a obtenção da equação de retas tangentes a determinadas curvas em um ponto. Obter a equação da reta tangente a cada uma das curvas abaixo no ponto P indicado:
Obs.: y-y_{p}=g^{\prime}\left(x_{p}\right) .\left(x-x_{p}\right) é a equação da reta tangente à curva y=g(x) no ponto ( x_{p}, y_{p} )
x^{2}-y^{2}=1, P(-1,0)

Passo 1

O enunciado pede a reta tangente à curva dada implicitamente por
x^{2}-y^{2}=1
no ponto P(-1,0). Aqui o conteúdo é derivação implícita: vamos diferenciar ambos os lados da equação em relação a x para encontrar a inclinação y' da tangente.

Passo 2

Diferenciando em relação a x temos
\frac{d}{dx}\bigl(x^{2}\bigr)\;-\;\frac{d}{dx}\bigl(y^{2}\bigr)\;=\;\frac{d}{dx}(1)
ou seja
2x \;-\;2y\,y' \;=\;0.

Passo 3

Isolando y', obtemos
2x \;=\;2y\,y' \quad\Longrightarrow\quad y' \;=\;\frac{x}{y}.

Passo 4

No ponto P(-1,0) temos x_{p}=-1 e y_{p}=0. Substituindo em \displaystyle y'=\tfrac{x}{y} o denominador fica zero enquanto o numerador não é nulo, indicando que a inclinação é “infinita”. Isso significa que a reta tangente é vertical.

Resposta

A reta tangente à curva no ponto P(-1,0) é
x = -1.

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