Uma das aplicações das derivadas é a obtenção da equação de retas tangentes a determinadas curvas em um ponto. Obter a equação da reta tangente a cada uma das curvas abaixo no ponto P indicado:
Obs.: y-y_{p}=g^{\prime}\left(x_{p}\right) .\left(x-x_{p}\right) é a equação da reta tangente à curva y=g(x) no ponto ( x_{p}, y_{p} )
y^{2}+x^{2}=1, P(1 / 2, \sqrt{ } 3 / 2)

Passo 1

O enunciado dá a curva implícita
y^2 + x^2 = 1
e pede a reta tangente em P\bigl(x_p,y_p\bigr)=\bigl(\tfrac12,\tfrac{\sqrt{3}}2\bigr).
O conteúdo é diferenciação implícita para obter y'=\tfrac{dy}{dx} e, em seguida, usar a fórmula da reta tangente
y - y_p = y'(x_p)\,\bigl(x - x_p\bigr).

Passo 2

Diferenciando implicitamente y^2 + x^2 = 1, obtemos
2y \, \frac{dy}{dx} + 2x = 0.
Isolando \tfrac{dy}{dx}, vem
\frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y}.

Passo 3

No ponto P\bigl(\tfrac12,\tfrac{\sqrt{3}}2\bigr), a inclinação é
m = y'\bigl(x_p\bigr) = -\frac{x_p}{y_p} = -\frac{\tfrac12}{\tfrac{\sqrt{3}}2} = -\frac{1}{\sqrt{3}}.

Passo 4

Substituindo em
y - y_p = m\,\bigl(x - x_p\bigr)
vemos
y - \frac{\sqrt{3}}2 = -\frac{1}{\sqrt{3}}\Bigl(x - \frac12\Bigr).
Desenvolvendo e isolando y, fica
y = -\frac{1}{\sqrt{3}}\,x + \frac{2}{\sqrt{3}}.

Resposta

A equação da reta tangente é
y = -\frac{1}{\sqrt{3}}\,x + \frac{2}{\sqrt{3}}.

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