Aplicações
Determine o volume do sólido gerado pela rotaçảo, em torno do eixo
, da região do primeiro quadrante delimitada pelos eixos de coordenadas, pela curva
e pela reta
.
Determine o volume do sólido gerado pela rotaçảo, em torno do eixo
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o volume de um sólido gerado quando a região no primeiro quadrante, delimitada pelos eixos, pela curva
e pela reta
, gira em torno do eixo
. Para isso, vamos usar o cálculo integral, mais especificamente o método dos discos, que é uma técnica para calcular volumes de sólidos de revolução.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região que estamos girando. No primeiro quadrante, temos os eixos
e
, a curva
e a reta vertical
. Quando giramos essa região em torno do eixo
, cada pedacinho da área vira um disco com raio igual a
da curva naquele ponto
.
Passo 3
O próximo passo é expressar o volume desse sólido usando uma integral. Pelo método dos discos, o volume
é dado por:
Aqui,
é a função que define o raio do disco em cada
, e
e
são os limites de integração. No nosso caso,
,
e
.
Passo 4
Vamos substituir esses valores na fórmula:
Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
Então, a integral fica:
Passo 5
Agora, precisamos resolver a integral:
Para resolver essa integral, podemos usar uma tabela de integrais ou técnicas de integração por substituição. A integral de
é conhecida e igual a:
Multiplicando por 4, temos:
Passo 6
Agora, avaliamos essa antiderivada nos limites de 0 a 1:
Simplificando:
Resposta
O volume do sólido gerado é
unidades cúbicas.