Aplicações
Determine o volume do sólido gerado pela rotaçảo, em torno do eixo x, da região do primeiro quadrante delimitada pelos eixos de coordenadas, pela curva y=2 /(1+x^2) e pela reta x=1.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o volume de um sólido gerado quando a região no primeiro quadrante, delimitada pelos eixos, pela curva e pela reta , gira em torno do eixo . Para isso, vamos usar o cálculo integral, mais especificamente o método dos discos, que é uma técnica para calcular volumes de sólidos de revolução.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região que estamos girando. No primeiro quadrante, temos os eixos e , a curva e a reta vertical . Quando giramos essa região em torno do eixo , cada pedacinho da área vira um disco com raio igual a da curva naquele ponto .

Passo 3

O próximo passo é expressar o volume desse sólido usando uma integral. Pelo método dos discos, o volume V = pi integrala^b [f(x)]^2 , dx é dado por:
Aqui, é a função que define o raio do disco em cada , e e são os limites de integração. No nosso caso, , e .

Passo 4

Vamos substituir esses valores na fórmula:
V = pi integral0^1 ( 21 + x^2 )^2 , dx
Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
( 21 + x^2 )^2 = 4(1 + x^2)^2
Então, a integral fica:
V = pi integral0^1 4(1 + x^2)^2 , dx

Passo 5

Agora, precisamos resolver a integral:
integral 4(1 + x^2)^2 , dx
Para resolver essa integral, podemos usar uma tabela de integrais ou técnicas de integração por substituição. A integral de x2(1 + x^2) + 12 arctan(x) + C é conhecida e igual a:
4 ( x2(1 + x^2) + 12 arctan(x) ) = 2x1 + x^2 + 2 arctan(x)
Multiplicando por 4, temos:

Passo 6

Agora, avaliamos essa antiderivada nos limites de 0 a 1:
V = pi [ ( 2(1)1 + (1)^2 + 2 arctan(1) ) - ( 2(0)1 + (0)^2 + 2 arctan(0) ) ]
Simplificando:
V = pi [ ( 22 + 2 cdot pi4 ) - (0 + 0) ] = pi [ 1 + pi2 ]

Resposta

O volume do sólido gerado é unidades cúbicas.

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