Duas funções, f e g, são chamadas de ortogonais em um intervalo a <= x <= b se integrala^b f(x) g(x) d x=0.
Prove o mesmo para sen m x ecos n x, mesmo que m=n.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que as funções sin(mx) e cos(nx) são ortogonais no intervalo [0,2pi], ou seja, que integral0^2pisin(mx)cos(nx),dx=0. Vamos usar conceitos de ortogonalidade e identidades trigonométricas para chegar lá.

Passo 2

A gente lembra da identidade produto-para-soma:
sin(mx)cos(nx)=tfrac12l(sin((m+n)x)+sin((m-n)x)r)

Passo 3

Substituindo isso na integral, temos
integral0^2pisin(mx)cos(nx),dx=tfrac12integral0^2pisin((m+n)x),dx+tfrac12integral0^2pisin((m-n)x),dx

Passo 4

Agora usamos a propriedade de que, para todo inteiro k,
integral0^2pisin(kx),dx=0,
pois a função sin(kx) completa um número inteiro de períodos em [0,2pi] e sua área positiva cancela a negativa. No caso geral, as duas integrais acima são zero, logo a soma também é zero. Mesmo se m=n, o segundo termo vira sin(0cdot x)=0 identicamente, e continua valendo que a integral total é zero.

Resposta

integral0^2pisin(mx)cos(nx),dx=0

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