A funçāo
forma uma regiāo com os eixos
e
. Verifique se a área da regiāo é convergente ou divergente. Caso seja convergente, qual o valor da área?
Passo 1
A questão pede a área da região limitada pela curva y = e^{−x} e pelos eixos coordenados no primeiro quadrante. O conteúdo principal é integral imprópria para área, e vamos usar a definição de área como limite de integrais.
Passo 2
Vamos escrever a área A como integral imprópria:
Isso significa calcular o limite
Passo 3
Calculemos a integral indefinida:
Logo,
Agora, tomamos o limite quando b→∞:
Portanto a integral converge.
Passo 4
Concluímos que a área da região é finita e igual a 1.
Resposta
A área da região é convergente e igual a 1.