A funçāo y=e^-x forma uma regiāo com os eixos x e y. Verifique se a área da regiāo é convergente ou divergente. Caso seja convergente, qual o valor da área?

Passo 1

A questão pede a área da região limitada pela curva y = e^{−x} e pelos eixos coordenados no primeiro quadrante. O conteúdo principal é integral imprópria para área, e vamos usar a definição de área como limite de integrais.

Passo 2

Vamos escrever a área A como integral imprópria:
A=integral0^inftye^-x,dx
Isso significa calcular o limite
limbtoinftyintegral0^be^-x,dx .

Passo 3

Calculemos a integral indefinida:
integral e^-x,dx=-e^-x+C
Logo,
integral0^be^-x,dx=l[-e^-xr]0^b=-e^-b-l(-e^0r)=1-e^-b
Agora, tomamos o limite quando b→∞:
limbtoinfty(1-e^-b)=1-0=1
Portanto a integral converge.

Passo 4

Concluímos que a área da região é finita e igual a 1.

Resposta

A área da região é convergente e igual a 1.

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