Considere el rectángulo Q=-1,1] times[-1,1]. Considere la partición de Q en 4 subrectángulos, dada por los ejes coordenados. Sea Q1 el rectángulo correspondiente al i-ésimo cuadrante (por ejemplo, Q2=[-1,0] times[0,1] ) En cada uno de los ejercicios 2-7, calcule el valor de la integral doble de la función dada sobre Q
f(x, y)= 5 & si (x, y) in Int Q1 cup Int Q2 3 & si (x, y) in Int Q3 cup Int Q4

Passo 1

Beleza, vamos resolver uma integral dupla sobre o retângulo . A gente tem uma função que vale 5 nos primeiros e segundos quadrantes e 3 nos terceiros e quartos quadrantes. Para resolver isso, vamos precisar entender como dividir o retângulo em subretângulos e aplicar as integrais em cada parte. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar dividido nos quatro quadrantes pelos eixos coordenados. Cada quadrante tem limites diferentes:
Isso ajuda a gente a entender onde a função assume cada valor.

Passo 3

Agora, vamos calcular a integral dupla de sobre cada quadrante separadamente. A integral dupla basicamente soma os valores da função em todo o retângulo.
Para e , . A área de cada um desses quadrantes é . Então, a integral sobre cada um é .
Para e , . Novamente, a área de cada quadrante é 1, então a integral sobre cada um é .

Passo 4

Agora, somamos as integrais de todos os quadrantes para obter a integral dupla total sobre Integral total = Integral sobre Q1 + Integral sobre Q2 + Integral sobre Q3 + Integral sobre Q4 = 5 + 5 + 3 + 3 :

Resposta

A integral dupla de 5 + 5 + 3 + 3 = 16 sobre é:

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