Considere el rectángulo
. Considere la partición de
en 4 subrectángulos, dada por los ejes coordenados. Sea
el rectángulo correspondiente al
-ésimo cuadrante (por ejemplo,
) En cada uno de los ejercicios
, calcule el valor de la integral doble de la función dada sobre
Passo 1
Beleza, vamos resolver uma integral dupla sobre o retângulo
. A gente tem uma função
que vale 5 nos primeiros e segundos quadrantes e 3 nos terceiros e quartos quadrantes. Para resolver isso, vamos precisar entender como dividir o retângulo
em subretângulos e aplicar as integrais em cada parte. Vamos lá!
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar
dividido nos quatro quadrantes pelos eixos coordenados. Cada quadrante
tem limites diferentes:
Isso ajuda a gente a entender onde a função
assume cada valor.
Passo 3
Agora, vamos calcular a integral dupla de
sobre cada quadrante separadamente. A integral dupla basicamente soma os valores da função em todo o retângulo.
Para
e
,
. A área de cada um desses quadrantes é
. Então, a integral sobre cada um é
.
Para
e
,
. Novamente, a área de cada quadrante é 1, então a integral sobre cada um é
.
Passo 4
Agora, somamos as integrais de todos os quadrantes para obter a integral dupla total sobre
:
Resposta
A integral dupla de
sobre
é: