Encontre a área da superfície gerada pela rotação da curva em torno do eixo indicado:
, eixo
Passo 1
O enunciado pede: encontrar a área da superfície gerada pela rotação da curva em torno do eixo
.\n
Informações fornecidas:\n
eixo de rotação: eixo
.\n
Observação importante (da própria curva): para temos
, então a distância até o eixo
é simplesmente
e a fórmula padrão de área de revolução se aplica sem complicação.
Informações fornecidas:\n
Observação importante (da própria curva): para
Passo 2
Fórmula que vamos usar (explicada passo a passo):\n
Quando uma curva paramétrica é rotacionada em torno do eixo
, a área da superfície gerada é
Quando uma curva paramétrica
onde
é o comprimento de arco infinitesimal. Em termos de
,
Aqui:\n
-
é a distância vertical do ponto da curva ao eixo (o raio do círculo que cada arco descreve ao girar);\n -
é o comprimento de um pequeno pedaço da curva;\n -
é o comprimento da circunferência gerada por esse pedaço ao girar;\n
logo o elemento de área ée integrando sobre obtemos a área total.
Passo 3
Calcular as derivadas da parametrização (passo mecânico, sem pressa):\n
Expliquei isso porque precisamos de
para
.
Passo 4
Calcular
e montar a integral:\n
O integrando da área é
. Substituindo
e
acima:
Portanto a área é
Passo 5
Calcular a integral
por substituição simples:\n
Faça a substituição . Então
, ou seja
.\n
Quando temos
. Quando
temos
.\n
Substituindo na integral:
Faça a substituição
Quando
Substituindo na integral:
Agora aplicamos a regra de potência para integrais:
para
.\n
Aqui , então
Aqui
Passo 6
Voltar para a área multiplicando pelo fator
:\n
Podemos simplificar
como
, então uma forma mais explícita é
Pronto! Isso é o valor exato da área da superfície. Se quiser uma aproximação numérica rápida:
, então
(apenas referência numérica).