Encontre a área da superfície gerada pela rotação da curva em torno do eixo indicado:
x=t^{2}, y=2 t, 0 \leq t \leq 3, eixo x

Passo 1

O enunciado pede: encontrar a área da superfície gerada pela rotação da curva em torno do eixo x.\n
Informações fornecidas:\n
\,x=t^{2},\; y=2t,\; 0\le t\le 3, eixo de rotação: eixo x.\n
Observação importante (da própria curva): para t\in[0,3] temos \,y=2t\ge 0, então a distância até o eixo x é simplesmente y e a fórmula padrão de área de revolução se aplica sem complicação.

Passo 2

Fórmula que vamos usar (explicada passo a passo):\n
Quando uma curva paramétrica (x(t),y(t)) é rotacionada em torno do eixo x, a área da superfície gerada é
S = 2\pi \int_{a}^{b} y(t)\,\mathrm{d}s,
onde \mathrm{d}s é o comprimento de arco infinitesimal. Em termos de t,
\mathrm{d}s = \sqrt{\left(\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}\right)^{2} + \left(\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}\right)^{2}}\,\mathrm{d}t.
Aqui:\n
  • \,y(t) é a distância vertical do ponto da curva ao eixo x (o raio do círculo que cada arco descreve ao girar);\n
  • \mathrm{d}s é o comprimento de um pequeno pedaço da curva;\n
  • 2\pi y(t) é o comprimento da circunferência gerada por esse pedaço ao girar;\n
    logo o elemento de área é 2\pi y(t)\,\mathrm{d}s e integrando sobre t\in[a,b] obtemos a área total.

Passo 3

Calcular as derivadas da parametrização (passo mecânico, sem pressa):\n
\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(t^{2}) = 2t,
\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t} = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(2t) = 2.
Expliquei isso porque precisamos de \left(\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}\right)^{2}+\left(\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}\right)^{2} para \mathrm{d}s.

Passo 4

Calcular \mathrm{d}s e montar a integral:\n
\mathrm{d}s = \sqrt{(2t)^{2} + 2^{2}}\,\mathrm{d}t = \sqrt{4t^{2}+4}\,\mathrm{d}t = 2\sqrt{t^{2}+1}\,\mathrm{d}t.
O integrando da área é 2\pi\,y(t)\,\mathrm{d}s. Substituindo y(t)=2t e \mathrm{d}s acima:
2\pi\cdot y(t)\cdot \mathrm{d}s = 2\pi \cdot (2t)\cdot \bigl(2\sqrt{t^{2}+1}\,\mathrm{d}t\bigr) = 8\pi\, t\sqrt{t^{2}+1}\,\mathrm{d}t.
Portanto a área é
S = \int_{0}^{3} 8\pi\, t\sqrt{t^{2}+1}\,\mathrm{d}t = 8\pi \int_{0}^{3} t\sqrt{t^{2}+1}\,\mathrm{d}t.

Passo 5

Calcular a integral \displaystyle \int_{0}^{3} t\sqrt{t^{2}+1}\,\mathrm{d}t por substituição simples:\n
Faça a substituição \,u=t^{2}+1. Então \mathrm{d}u = 2t\,\mathrm{d}t, ou seja t\,\mathrm{d}t = \dfrac{\mathrm{d}u}{2}.\n
Quando t=0 temos u=0^{2}+1=1. Quando t=3 temos u=3^{2}+1=10.\n
Substituindo na integral:
\int_{0}^{3} t\sqrt{t^{2}+1}\,\mathrm{d}t = \int_{u=1}^{u=10} \sqrt{u}\,\frac{\mathrm{d}u}{2} = \frac{1}{2}\int_{1}^{10} u^{1/2}\,\mathrm{d}u.
Agora aplicamos a regra de potência para integrais: \displaystyle \int u^{\alpha}\,\mathrm{d}u = \frac{u^{\alpha+1}}{\alpha+1} para \alpha\neq -1.\n
Aqui \alpha=\tfrac{1}{2}, então
\frac{1}{2}\int_{1}^{10} u^{1/2}\,\mathrm{d}u = \frac{1}{2}\cdot\left[\frac{u^{3/2}}{3/2}\right]_{1}^{10} = \frac{1}{2}\cdot\frac{2}{3}\left[u^{3/2}\right]_{1}^{10} = \frac{1}{3}\left[(10)^{3/2} - (1)^{3/2}\right].

Passo 6

Voltar para a área multiplicando pelo fator 8\pi:\n
S = 8\pi \cdot \frac{1}{3}\left[10^{3/2} - 1^{3/2}\right] = \frac{8\pi}{3}\left[10^{3/2} - 1\right].
Podemos simplificar 10^{3/2} como 10^{3/2} = 10\sqrt{10}, então uma forma mais explícita é
S = \frac{8\pi}{3}\left(10\sqrt{10} - 1\right).
Pronto! Isso é o valor exato da área da superfície. Se quiser uma aproximação numérica rápida: 10\sqrt{10}\approx 31,6228, então S\approx \dfrac{8\pi}{3}(30,6228)\approx 256,2 (apenas referência numérica).

Resposta

\displaystyle S=\frac{8\pi}{3}\bigl(10\sqrt{10}-1\bigr)

Exercícios relacionados