Aplicações Físicas e Engenharia:
Circuito RL em regime transitório: Em um circuito RL série com resistência R e indutância L alimentado por uma tensão constante V, a corrente evolui conforme:
I(t)=\frac{V}{R}\left(1-e^{-\frac{R}{L} t}\right)
Problema: Use a série de Taylor da função exponencial para aproximar o comportamento da corrente nos instantes iniciais ( t \rightarrow 0 ). Mostre que para tempos muito curtos:
I(t) \approx \frac{V}{L} t
e determine o intervalo de tempo para o qual esta aproximação é válida com erro menor que 1 \%.

Passo 1

O enunciado dá a corrente num circuito RL série alimentado por tensão constante V:
I(t)=\frac{V}{R}\left(1-e^{-\frac{R}{L}t}\right).
O que nos pediram:
  1. Usar a série de Taylor da exponencial para aproximar o comportamento de I(t) nos instantes iniciais ( t\to0) e mostrar que, para tempos muito curtos,
I(t)\approx\frac{V}{L}\,t.
  1. Determinar o intervalo de tempo no qual essa aproximação tem erro menor que 1\%.
Informações relevantes fornecidas: as constantes V (tensão), R (resistência) e L (indutância) são positivas e fixas; a expressão exata de I(t) está acima. A incógnita é o comportamento para t pequeno e a condição de erro relativo <1\%.

Passo 2

Pequena aula sobre a série de Taylor da exponencial (estilo amigo explicando devagar):
A função exponencial tem, ao redor de x=0, a expansão em série (Maclaurin)
e^{-x}=1 - x + \frac{x^{2}}{2!} - \frac{x^{3}}{3!} + \cdots .
Isto significa que, para x pequeno, podemos aproximar e^{-x} pelos primeiros termos. O erro ao truncar a série após o termo de ordem n é dado pelo resto de Taylor (forma de Lagrange), que para esta função é controlável porque as derivadas de e^{-x} são \pm e^{-x} e, em x\ge0, satisfazem 0< e^{-x}\le1. Em particular, truncando após o termo linear, o resto tem ordem x^{2}.

Passo 3

Aplicando a série com x=\dfrac{R}{L}t. Substituo x=\dfrac{R}{L}t na expansão:
e^{-\frac{R}{L}t}=1 - \frac{R}{L}t + \frac{1}{2}\left(\frac{R}{L}t\right)^{2} - \frac{1}{6}\left(\frac{R}{L}t\right)^{3} + \cdots.
Agora uso isso em I(t)=\dfrac{V}{R}\bigl(1-e^{-\frac{R}{L}t}\bigr). Substituindo a série:
I(t)=\frac{V}{R}\left(1 - \left[1 - \frac{R}{L}t + \frac{1}{2}\left(\frac{R}{L}t\right)^{2} - \cdots\right]\right).
Simplificando os parênteses:
I(t)=\frac{V}{R}\left(\frac{R}{L}t - \frac{1}{2}\left(\frac{R}{L}t\right)^{2} + \cdots\right).
Multiplicando \dfrac{V}{R} pelos termos:
I(t)=\frac{V}{L}t - \frac{V R}{2L^{2}}t^{2} + \mathcal{O}(t^{3}).

Passo 4

Interpretação didática e conclusão do primeiro pedido:
O termo dominante quando t\to0 é o primeiro termo linear. Portanto, para tempos muito curtos
I(t)\approx\frac{V}{L}\,t.
Descrição física rápida (em linguagem simples): no instante inicial o indutor impede mudança instantânea de corrente; a corrente cresce com uma inclinação inicial \dfrac{V}{L} — isto equivale a dizer que a tensão inteira “aplica” uma aceleração de corrente proporcional a 1/L.

Passo 5

Agora vamos controlar o erro e achar o intervalo de validade para erro relativo <1\%. Defino a aproximação linear
I_{\text{lin}}(t)=\frac{V}{L}t.
O primeiro termo descuidante (o próximo termo da série) é -\dfrac{V R}{2L^{2}}t^{2}, então a magnitude do erro absoluto, para t pequeno, é aproximadamente
\Delta I(t)\approx\frac{V R}{2L^{2}}t^{2}.
A razão (erro relativo) entre o erro absoluto e o valor aproximado (ou o valor real para t pequeno, ambos equivalentes na ordem considerada) fica, para t pequeno,
\frac{|\Delta I(t)|}{I(t)} \approx \frac{\dfrac{V R}{2L^{2}}t^{2}}{\dfrac{V}{L}t} = \frac{R}{2L}\,t.
Observação didática: ao dividir, o V cancela e um fator t fica, por isso o erro relativo cresce linearmente com t na primeira ordem além da aproximação.

Passo 6

Imponho a condição de erro relativo menor que 1\%, ou seja
\frac{R}{2L}\,t < 0,01.
Resolvo para t:
t < 0,01\cdot\frac{2L}{R} = 0,02\,\frac{L}{R}.
É comum usar a constante de tempo \tau=\dfrac{L}{R}. Em termos de \tau a condição fica
t < 0,02\,\tau.
Interpretação prática: enquanto t for menor que 2\% da constante de tempo do circuito, a aproximação linear tem erro relativo menor que 1\%. Ex.: se \tau=1\\ \text{ms}, então t<0{,}02\\ \text{ms}=20\\ \mu\text{s}.

Passo 7

Resumo final e reforço (curto, motivador):
  • A aproximação linear surge diretamente da expansão em série ao zerar termos de ordem t^{2} e superiores.
  • O critério para erro relativo <1\% deu uma condição simples e intuitiva em termos da constante de tempo do circuito: t<0{,}02\,\dfrac{L}{R}. Força aí nos estudos — essa técnica de usar a série e estimar o termo seguinte é muito útil em provas e em engenharia prática.

Resposta

I(t)\approx\frac{V}{L}\,t\n
t<0{,}02\,\dfrac{L}{R}

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