Aplicações Físicas e Engenharia:
Circuito RL em regime transitório: Em um circuito RL série com resistência
e indutância
alimentado por uma tensão constante
, a corrente evolui conforme:
Problema: Use a série de Taylor da função exponencial para aproximar o comportamento da corrente nos instantes iniciais (
). Mostre que para tempos muito curtos:
e determine o intervalo de tempo para o qual esta aproximação é válida com erro menor que
.
Circuito RL em regime transitório: Em um circuito RL série com resistência
Passo 1
O enunciado dá a corrente num circuito RL série alimentado por tensão constante
:
O que nos pediram:
- Usar a série de Taylor da exponencial para aproximar o comportamento de
nos instantes iniciais ( ) e mostrar que, para tempos muito curtos,
- Determinar o intervalo de tempo no qual essa aproximação tem erro menor que
.
Informações relevantes fornecidas: as constantes
(tensão),
(resistência) e
(indutância) são positivas e fixas; a expressão exata de
está acima. A incógnita é o comportamento para
pequeno e a condição de erro relativo
.
Passo 2
Pequena aula sobre a série de Taylor da exponencial (estilo amigo explicando devagar):
A função exponencial tem, ao redor de , a expansão em série (Maclaurin)
A função exponencial tem, ao redor de
Isto significa que, para
pequeno, podemos aproximar
pelos primeiros termos. O erro ao truncar a série após o termo de ordem
é dado pelo resto de Taylor (forma de Lagrange), que para esta função é controlável porque as derivadas de
são
e, em
, satisfazem
. Em particular, truncando após o termo linear, o resto tem ordem
.
Passo 3
Aplicando a série com
. Substituo
na expansão:
Agora uso isso em
. Substituindo a série:
Simplificando os parênteses:
Multiplicando
pelos termos:
Passo 4
Interpretação didática e conclusão do primeiro pedido:
O termo dominante quando é o primeiro termo linear. Portanto, para tempos muito curtos
O termo dominante quando
Descrição física rápida (em linguagem simples): no instante inicial o indutor impede mudança instantânea de corrente; a corrente cresce com uma inclinação inicial
— isto equivale a dizer que a tensão inteira “aplica” uma aceleração de corrente proporcional a
.
Passo 5
Agora vamos controlar o erro e achar o intervalo de validade para erro relativo
. Defino a aproximação linear
O primeiro termo descuidante (o próximo termo da série) é
, então a magnitude do erro absoluto, para
pequeno, é aproximadamente
A razão (erro relativo) entre o erro absoluto e o valor aproximado (ou o valor real para
pequeno, ambos equivalentes na ordem considerada) fica, para
pequeno,
Observação didática: ao dividir, o
cancela e um fator
fica, por isso o erro relativo cresce linearmente com
na primeira ordem além da aproximação.
Passo 6
Imponho a condição de erro relativo menor que
, ou seja
Resolvo para
:
É comum usar a constante de tempo
. Em termos de
a condição fica
Interpretação prática: enquanto
for menor que
da constante de tempo do circuito, a aproximação linear tem erro relativo menor que
. Ex.: se
, então
.
Passo 7
Resumo final e reforço (curto, motivador):
- A aproximação linear surge diretamente da expansão em série ao zerar termos de ordem
e superiores. - O critério para erro relativo
deu uma condição simples e intuitiva em termos da constante de tempo do circuito: . Força aí nos estudos — essa técnica de usar a série e estimar o termo seguinte é muito útil em provas e em engenharia prática.