Aplicações Físicas e Engenharia:
Correção por viscosidade na equação de Torricelli: Para fluidos ideais, a velocidade de effluxo por um orifício é dada por Torricelli:
v=\sqrt{2 g h}
onde h é a altura da coluna de fluido.
Problema: Para fluidos viscosos, propõe-se uma correção empírica da forma:
v=\sqrt{2 g h}\left(1-\frac{k}{h}+\frac{k^{2}}{2 h^{2}}-\cdots\right)
onde k é um parâmetro de viscosidade. Use expansão binomial para verificar esta correção e discuta o significado físico do parâmetro k.

Passo 1

O enunciado dá a lei de Torricelli para um fluido ideal:
v=\sqrt{2 g h}
e propõe uma correção empírica para fluidos viscosos da forma
v=\sqrt{2 g h}\left(1-\frac{k}{h}+\frac{k^{2}}{2 h^{2}}-\cdots\right).
Pede-se:
  1. usar a expansão binomial para verificar a forma da correção (ou seja, mostrar como aparece uma série em potências de k/h quando o parâmetro de viscosidade é pequeno); 2) discutir o significado físico do parâmetro k.
Informações relevantes que temos do enunciado:
  • g é a aceleração da gravidade (constante);
  • h é a altura da coluna de fluido (tem dimensão de comprimento);
  • k é um parâmetro que mede efeitos de viscosidade (também tem dimensão de comprimento, segundo a forma proposta da correção);
  • a expansão pedida deve ser feita assumindo k/h pequeno (série para pequeno parâmetro adimensional).

Passo 2

Motivação física simples (modelo de partida que vamos expandir): uma maneira natural de introduzir uma perda por viscosidade é dizer que a “carga efetiva” que gera velocidade é menor que h, por exemplo h-k (ou seja, uma perda de carga equivalente de magnitude k). Assim, tomamos como expressão mais direta e plausível
v=\sqrt{2 g (h-k)}.
Isto faz sentido físico: se houver perdas equivalentes a uma altura k, a energia disponível para converter em velocidade é g(h-k) por unidade de massa. Agora vamos manipular esta expressão para obter uma série em potências de k/h.

Passo 3

Reescrevemos \sqrt{h-k} fatorando h:
\sqrt{h-k}=\sqrt{h}\,\sqrt{1-\frac{k}{h}}.
Logo
v=\sqrt{2 g}\,\sqrt{h-k}=\sqrt{2 g h}\;\sqrt{1-\frac{k}{h}}.
Agora precisamos expandir a raiz quadrada \sqrt{1+x} quando x é pequeno; aqui x=-\dfrac{k}{h}.
A fórmula do binômio generalizado (ou expansão de Newton) diz, para |x|<1 e expoente real \alpha,
(1+x)^{\alpha}=1+\alpha x+\frac{\alpha(\alpha-1)}{2}x^{2}+\frac{\alpha(\alpha-1)(\alpha-2)}{6}x^{3}+\cdots.
Nesta fórmula cada coeficiente é obtido combinando \alpha(\alpha-1)\cdots dividido pelo fatorial apropriado; o importante para nós é aplicar com \alpha=\tfrac{1}{2}.

Passo 4

Aplicamos a fórmula com \alpha=\tfrac{1}{2} e x=-\dfrac{k}{h}.
Primeiro termo (ordem zero):
1.
Primeiro termo em x (ordem 1):
\alpha x=\frac{1}{2}\left(-\frac{k}{h}\right)=-\frac{k}{2h}.
Segundo termo em x^{2} (ordem 2):
\frac{\alpha(\alpha-1)}{2}x^{2}=\frac{\tfrac{1}{2}\left(\tfrac{1}{2}-1\right)}{2}\left(-\frac{k}{h}\right)^{2} =\frac{\tfrac{1}{2}\left(-\tfrac{1}{2}\right)}{2}\frac{k^{2}}{h^{2}} =-\frac{1}{8}\frac{k^{2}}{h^{2}}.
Portanto a expansão até segunda ordem é
\sqrt{1-\frac{k}{h}} \approx 1-\frac{k}{2h}-\frac{1}{8}\frac{k^{2}}{h^{2}}+\cdots.

Passo 5

Voltando para v, multiplicamos por \sqrt{2 g h}:
v=\sqrt{2 g h}\;\sqrt{1-\frac{k}{h}} \approx \sqrt{2 g h}\left(1-\frac{k}{2h}-\frac{1}{8}\frac{k^{2}}{h^{2}}+\cdots\right).
Assim, a expansão binomial do modelo v=\sqrt{2 g(h-k)} dá, em potências de k/h, a série
v\approx \sqrt{2 g h}\left(1-\frac{k}{2h}-\frac{k^{2}}{8h^{2}}+\cdots\right).
Observação importante (sobre a série proposta no enunciado): a série que obtivemos tem coeficientes -\tfrac{1}{2} e -\tfrac{1}{8} nos termos de primeira e segunda ordem em k/h, respectivamente. A série dada no enunciado
v=\sqrt{2 g h}\left(1-\frac{k}{h}+\frac{k^{2}}{2 h^{2}}-\cdots\right)
tem coeficientes diferentes. Isso significa que ou o enunciado usou uma definição distinta de k (por exemplo, k naquela série pode representar uma combinação ou múltiplo do nosso k), ou partiu de uma hipótese algebraica diferente (não simplesmente h-k dentro da raiz). O procedimento correto para verificar uma série é: 1) escolher a expressão (por exemplo h-k dentro da raiz); 2) fatorar e aplicar a expansão binomial como fizemos. Se alguém quiser obter exatamente os coeficientes do enunciado, precisaria partir de uma expressão exata cuja expansão gere esses coeficientes — por exemplo, definir uma k' tal que 1-\dfrac{k'}{2h}=-\dfrac{k}{h} etc., mas isso é apenas uma mudança de escala/definição do parâmetro.

Passo 6

Discussão física do parâmetro \,k:
  • Dimensão: pela forma h-k ele tem dimensão de comprimento (metros). Portanto \dfrac{k}{h} é adimensional, o que permite a expansão em potências de k/h.
  • Interpretação: \,k representa uma “perda de carga equivalente” causada por efeitos viscosos (atrito no orifício, perda de energia por cisalhamento, etc.). Física: parte da energia potencial g h é dissipada, de modo que só g(h-k) fica disponível para converter em energia cinética.
  • Sinal: k\ge 0 (perdas) => reduz a velocidade.
  • Regime de validade: a expansão binomial é válida quando \dfrac{k}{h}\ll 1 (ou seja, perdas pequenas comparadas à altura); então a primeira correção dominante é de ordem \dfrac{k}{2h} (no nosso modelo), que dá a redução relativa aproximada da velocidade.
  • Dependência física: k deve aumentar com a viscosidade dinâmica \mu do fluido e com características que aumentem atrito (orifício pequeno, paredes rugosas, caminhos longos), e deve depender também da densidade \rho e da geometria do orifício; em termos adimensionais ele estará relacionado ao número de Reynolds Re e ao coeficiente de perda do orifício. Em experimentos, k é determinado ajustando a lei ao conjunto de dados medidos para diferentes h.
Exemplo numérico rápido para intuição: tome h=2\\ \mathrm{m}, k=0{,}1\\ \mathrm{m}, g=9{,}81\\ \mathrm{m/s^{2}}.
v_{0}=\sqrt{2 g h}=\sqrt{2\cdot 9{,}81\cdot 2}\approx 6{,}26\\ \mathrm{m/s}.
Correção pelo primeiro termo (nosso modelo):
v\approx v_{0}\left(1-\frac{k}{2h}\right)=6{,}26\left(1-\frac{0{,}1}{2\cdot 2}\right)=6{,}26\cdot 0{,}975\approx 6{,}10\\ \mathrm{m/s}.
A perda é pequena (≈0{,}16 m/s) porque \dfrac{k}{h}=0{,}05 é pequeno.

Resposta

v\approx \sqrt{2 g h}\left(1-\frac{k}{2h}-\frac{k^{2}}{8h^{2}}+\cdots\right)
k é uma perda de carga equivalente (tem dimensão de comprimento) que representa efeitos de viscosidade e atrito: para k/h\ll1 reduz a velocidade em aproximadamente \dfrac{k}{2h} (primeira ordem) e cresce com a viscosidade e com características geométricas que aumentem atrito.

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