Aplicações Físicas e Engenharia:
Correção por viscosidade na equação de Torricelli: Para fluidos ideais, a velocidade de effluxo por um orifício é dada por Torricelli:
onde
é a altura da coluna de fluido.
Problema: Para fluidos viscosos, propõe-se uma correção empírica da forma:
onde
é um parâmetro de viscosidade. Use expansão binomial para verificar esta correção e discuta o significado físico do parâmetro
.
Correção por viscosidade na equação de Torricelli: Para fluidos ideais, a velocidade de effluxo por um orifício é dada por Torricelli:
Problema: Para fluidos viscosos, propõe-se uma correção empírica da forma:
Passo 1
O enunciado dá a lei de Torricelli para um fluido ideal:
e propõe uma correção empírica para fluidos viscosos da forma
Pede-se:
- usar a expansão binomial para verificar a forma da correção (ou seja, mostrar como aparece uma série em potências de
quando o parâmetro de viscosidade é pequeno); 2) discutir o significado físico do parâmetro .
Informações relevantes que temos do enunciado:
-
é a aceleração da gravidade (constante); -
é a altura da coluna de fluido (tem dimensão de comprimento); -
é um parâmetro que mede efeitos de viscosidade (também tem dimensão de comprimento, segundo a forma proposta da correção); - a expansão pedida deve ser feita assumindo
pequeno (série para pequeno parâmetro adimensional).
Passo 2
Motivação física simples (modelo de partida que vamos expandir): uma maneira natural de introduzir uma perda por viscosidade é dizer que a “carga efetiva” que gera velocidade é menor que
, por exemplo
(ou seja, uma perda de carga equivalente de magnitude
). Assim, tomamos como expressão mais direta e plausível
Isto faz sentido físico: se houver perdas equivalentes a uma altura
, a energia disponível para converter em velocidade é
por unidade de massa. Agora vamos manipular esta expressão para obter uma série em potências de
.
Passo 3
Reescrevemos
fatorando
:
Logo
Agora precisamos expandir a raiz quadrada
quando
é pequeno; aqui
.
A fórmula do binômio generalizado (ou expansão de Newton) diz, para
e expoente real
,
Nesta fórmula cada coeficiente é obtido combinando
dividido pelo fatorial apropriado; o importante para nós é aplicar com
.
Passo 4
Aplicamos a fórmula com
e
.
Primeiro termo (ordem zero):
Primeiro termo em
(ordem 1):
Segundo termo em
(ordem 2):
Portanto a expansão até segunda ordem é
Passo 5
Voltando para
, multiplicamos por
:
Assim, a expansão binomial do modelo
dá, em potências de
, a série
Observação importante (sobre a série proposta no enunciado): a série que obtivemos tem coeficientes
e
nos termos de primeira e segunda ordem em
, respectivamente. A série dada no enunciado
tem coeficientes diferentes. Isso significa que ou o enunciado usou uma definição distinta de
(por exemplo,
naquela série pode representar uma combinação ou múltiplo do nosso
), ou partiu de uma hipótese algebraica diferente (não simplesmente
dentro da raiz). O procedimento correto para verificar uma série é: 1) escolher a expressão (por exemplo
dentro da raiz); 2) fatorar e aplicar a expansão binomial como fizemos. Se alguém quiser obter exatamente os coeficientes do enunciado, precisaria partir de uma expressão exata cuja expansão gere esses coeficientes — por exemplo, definir uma
tal que
etc., mas isso é apenas uma mudança de escala/definição do parâmetro.
Passo 6
Discussão física do parâmetro
:
- Dimensão: pela forma
ele tem dimensão de comprimento (metros). Portanto é adimensional, o que permite a expansão em potências de . - Interpretação:
representa uma “perda de carga equivalente” causada por efeitos viscosos (atrito no orifício, perda de energia por cisalhamento, etc.). Física: parte da energia potencial é dissipada, de modo que só fica disponível para converter em energia cinética. - Sinal:
(perdas) => reduz a velocidade. - Regime de validade: a expansão binomial é válida quando
(ou seja, perdas pequenas comparadas à altura); então a primeira correção dominante é de ordem (no nosso modelo), que dá a redução relativa aproximada da velocidade. - Dependência física:
deve aumentar com a viscosidade dinâmica do fluido e com características que aumentem atrito (orifício pequeno, paredes rugosas, caminhos longos), e deve depender também da densidade e da geometria do orifício; em termos adimensionais ele estará relacionado ao número de Reynolds e ao coeficiente de perda do orifício. Em experimentos, é determinado ajustando a lei ao conjunto de dados medidos para diferentes .
Exemplo numérico rápido para intuição: tome
,
,
.
Correção pelo primeiro termo (nosso modelo):
A perda é pequena (≈0{,}16 m/s) porque
é pequeno.