Aplicações Físicas e Engenharia:
Equação das lentes espessas: Para lentes delgadas, usamos a equação:
onde
é a distância focal,
o índice de refração, e
os raios de curvatura das faces.
Problema: Considere uma lente onde
. Use expansão em série de Taylor para desenvolver uma aproximação para a distância focal quando a diferença entre os raios é pequena. Mostre que:
onde
é a diferença relativa entre os raios.
Equação das lentes espessas: Para lentes delgadas, usamos a equação:
Problema: Considere uma lente onde
Passo 1
O enunciado dá a fórmula das lentes delgadas:
e pede uma aproximação para a distância focal quando
e
são muito próximos. Foi dada a definição
onde
é um raio “típico” (ou média) de referência e
é pequena (
). Quero, portanto, desenvolver uma expansão em série (Taylor) para a diferença
em potências de
e obter uma expressão aproximada para
.
Informações relevantes listadas:
- Fórmula dada:
. - Definição pequena:
, com . - Objetivo: usar expansão em série para obter uma expressão simples para
em termos de , e .
Passo 2
Parametrização conveniente: escrevo
e
como desvios relativos em torno de
. Escolho
onde
e
são pequenos. Pela definição de
temos
A ideia é expandir
usando séries em
(ou diretamente em
), mantendo termos de ordem mais baixa.
Passo 3
Vou usar a expansão de Taylor (série geométrica) para a função
em torno de
:
válida para
. Aplicando com
e
obtenho, até ordem linear (ou seja, desprezando termos quadráticos e superiores porque
é pequeno):
Agora escrevo
Passo 4
Substituindo as expansões lineares:
Pelo passo 2,
. Assim
Passo 5
Volto à fórmula da lente:
Isolando
obtemos, na aproximação linear em
,
Observações importantes (didáticas e práticas):
- O sinal negativo aparece por causa da ordem em que se subtrai
e da convenção de sinais para os raios de curvatura; dependendo da convenção de sinais adotada (superfícies convexas/concavas e orientação), o sinal de pode mudar. Em muitos problemas práticos a interessa-se pelo valor absoluto da distância focal, portanto usamos . - A aproximação linear que fiz é válida quando
. Termos de ordem e superiores foram desprezados. - A expressão obtida aqui difere por um fator numérico da expressão pedida no enunciado. Isso geralmente ocorre por diferenças na definição de
(por exemplo, se alguém definir em vez de , aparece um fator 2). De fato, se usarmos a definição alternativa (ou seja, ), a expressão acima fica
e em módulo
que tem a mesma forma numérica pedida no enunciado. Então a diferença entre as duas formas é apenas uma diferença de fator 2 na definição do parâmetro relativo usado.
Passo 6
Exemplo numérico (para fixar): suponha
,
e
. Pela fórmula linear que derivamos:
O sinal indica a convenção; em módulo
. Se alguém tivesse usado a definição alternativa
, então a fórmula com
daria diretamente
— mesma magnitude.