Aplicações Físicas e Engenharia:
Equação das lentes espessas: Para lentes delgadas, usamos a equação:
\frac{1}{f}=(n-1)\left(\frac{1}{R_{1}}-\frac{1}{R_{2}}\right)
onde f é a distância focal, n o índice de refração, e R_{1}, R_{2} os raios de curvatura das faces.
Problema: Considere uma lente onde R_{1} \approx R_{2}=R. Use expansão em série de Taylor para desenvolver uma aproximação para a distância focal quando a diferença entre os raios é pequena. Mostre que:
f \approx \frac{R}{2(n-1) \delta}
onde \delta=\frac{R_{1}-R_{2}}{R} é a diferença relativa entre os raios.

Passo 1

O enunciado dá a fórmula das lentes delgadas:
\frac{1}{f}=(n-1)\left(\frac{1}{R_{1}}-\frac{1}{R_{2}}\right)
e pede uma aproximação para a distância focal quando R_{1} e R_{2} são muito próximos. Foi dada a definição
\delta=\frac{R_{1}-R_{2}}{R},
onde R é um raio “típico” (ou média) de referência e \delta é pequena ( |\delta|\ll1). Quero, portanto, desenvolver uma expansão em série (Taylor) para a diferença \frac{1}{R_{1}}-\frac{1}{R_{2}} em potências de \delta e obter uma expressão aproximada para f.
Informações relevantes listadas:
  • Fórmula dada: \displaystyle \frac{1}{f}=(n-1)\!\left(\frac{1}{R_{1}}-\frac{1}{R_{2}}\right).
  • Definição pequena: \displaystyle \delta=\frac{R_{1}-R_{2}}{R}, com |\delta|\ll1.
  • Objetivo: usar expansão em série para obter uma expressão simples para f em termos de R, n e \delta.

Passo 2

Parametrização conveniente: escrevo R_{1} e R_{2} como desvios relativos em torno de R. Escolho
R_{1}=R(1+\varepsilon_{1}),\qquad R_{2}=R(1+\varepsilon_{2}),
onde \varepsilon_{1} e \varepsilon_{2} são pequenos. Pela definição de \delta temos
\delta=\frac{R_{1}-R_{2}}{R}=\varepsilon_{1}-\varepsilon_{2}.
A ideia é expandir \dfrac{1}{R_{1}}-\dfrac{1}{R_{2}} usando séries em \varepsilon_{1},\varepsilon_{2} (ou diretamente em \delta), mantendo termos de ordem mais baixa.

Passo 3

Vou usar a expansão de Taylor (série geométrica) para a função g(x)=\dfrac{1}{1+x} em torno de x=0:
\frac{1}{1+x}=1-x+x^{2}-x^{3}+\cdots,
válida para |x|<1. Aplicando com x=\varepsilon_{1} e x=\varepsilon_{2} obtenho, até ordem linear (ou seja, desprezando termos quadráticos e superiores porque \varepsilon é pequeno):
\frac{1}{1+\varepsilon_{1}}\approx 1-\varepsilon_{1},\qquad \frac{1}{1+\varepsilon_{2}}\approx 1-\varepsilon_{2}.
Agora escrevo
\frac{1}{R_{1}}-\frac{1}{R_{2}}=\frac{1}{R}\left(\frac{1}{1+\varepsilon_{1}}-\frac{1}{1+\varepsilon_{2}}\right).

Passo 4

Substituindo as expansões lineares:
\frac{1}{R_{1}}-\frac{1}{R_{2}}\approx\frac{1}{R}\Big[(1-\varepsilon_{1})-(1-\varepsilon_{2})\Big] =\frac{1}{R}(-\varepsilon_{1}+\varepsilon_{2})=-\frac{\varepsilon_{1}-\varepsilon_{2}}{R}.
Pelo passo 2, \varepsilon_{1}-\varepsilon_{2}=\delta. Assim
\frac{1}{R_{1}}-\frac{1}{R_{2}}\approx -\frac{\delta}{R}.

Passo 5

Volto à fórmula da lente:
\frac{1}{f}=(n-1)\left(\frac{1}{R_{1}}-\frac{1}{R_{2}}\right)\approx (n-1)\left(-\frac{\delta}{R}\right).
Isolando f obtemos, na aproximação linear em \delta,
f\approx -\frac{R}{(n-1)\,\delta}.
Observações importantes (didáticas e práticas):
  • O sinal negativo aparece por causa da ordem em que se subtrai \frac{1}{R_{1}}-\frac{1}{R_{2}} e da convenção de sinais para os raios de curvatura; dependendo da convenção de sinais adotada (superfícies convexas/concavas e orientação), o sinal de f pode mudar. Em muitos problemas práticos a interessa-se pelo valor absoluto da distância focal, portanto usamos |f|\approx \dfrac{R}{(n-1)|\delta|}.
  • A aproximação linear que fiz é válida quando |\delta|\ll1. Termos de ordem \delta^{2} e superiores foram desprezados.
  • A expressão obtida aqui difere por um fator numérico da expressão pedida no enunciado. Isso geralmente ocorre por diferenças na definição de \delta (por exemplo, se alguém definir \tilde\delta=\dfrac{R_{1}-R_{2}}{2R} em vez de \delta=\dfrac{R_{1}-R_{2}}{R}, aparece um fator 2). De fato, se usarmos a definição alternativa \tilde\delta=\dfrac{\delta}{2} (ou seja, \tilde\delta=\dfrac{R_{1}-R_{2}}{2R}), a expressão acima fica
f\approx -\frac{R}{(n-1)(2\tilde\delta)}=\;-\frac{R}{2(n-1)\tilde\delta},
e em módulo
|f|\approx\frac{R}{2(n-1)|\tilde\delta|},
que tem a mesma forma numérica pedida no enunciado. Então a diferença entre as duas formas é apenas uma diferença de fator 2 na definição do parâmetro relativo usado.

Passo 6

Exemplo numérico (para fixar): suponha R=10\\ \text{cm}, n=1{,}5 e \delta=0{,}01. Pela fórmula linear que derivamos:
f\approx -\frac{10}{(1{,}5-1)\cdot 0{,}01}=-\frac{10}{0{,}5\cdot 0{,}01}=-\frac{10}{0{,}005}=-2000\\ \text{cm}.
O sinal indica a convenção; em módulo |f|=20\\ \text{m}. Se alguém tivesse usado a definição alternativa \tilde\delta=\dfrac{\delta}{2}=0{,}005, então a fórmula com 2\tilde\delta daria diretamente |f|= \dfrac{10}{2\cdot 0{,}5\cdot 0{,}005}=2000\\ \text{cm} — mesma magnitude.

Resposta

f \approx \frac{R}{2(n-1)\,\delta}

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