6- Sejam B_{1}=\{(1,-1) ;(0,2)\}, B_{2}=\{(1,0,-1) ;(0,1,2) ;(1,2,0)\} bases de \mathbb{R}^{2} e \mathbb{R}^{3}, respectivamente e
[T]_{B_{2}}^{B_{1}}=\left(\begin{array}{cc} 1 & 0 \\\\ 1 & 1 \\\\ 0 & -1 \end{array}\right)
a) Encontre T(x, y);
b) Sendo v=(1,1), determine [T(v)]_{B_{2}};

Passo 1

O enunciado dá as bases e a matriz de T nas coordenadas dessas bases e pede duas coisas:
  • a) Encontrar a aplicação linear T como função em coordenadas usuais, isto é, achar T(x,y) para um vetor arbitrário (x,y)\in\mathbb{R}^{2}.
  • b) Para v=(1,1), determinar o vetor de coordenadas [T(v)]_{B_{2}} (as coordenadas de T(v) na base B_{2}).
Dados fornecidos:
  • B_{1}=\{(1,-1),(0,2)\}. Vou chamar os vetores de B_{1} de u_{1}=(1,-1) e u_{2}=(0,2).
  • B_{2}=\{(1,0,-1),(0,1,2),(1,2,0)\}. Vou chamar esses vetores de B_{2} de w_{1}=(1,0,-1), w_{2}=(0,1,2) e w_{3}=(1,2,0).
  • A matriz de T relativamente a essas bases é
[T]_{B_{2}}^{B_{1}}=\begin{pmatrix}1 & 0 \\[4pt] 1 & 1 \\[4pt] 0 & -1\end{pmatrix}.]

Passo 2

Entendendo o que essa matriz significa (aula rápida): cada coluna da matriz [T]_{B_{2}}^{B_{1}} contém as coordenadas, na base B_{2}, da imagem por T do vetor correspondente da base B_{1}.
  • A primeira coluna \begin{pmatrix}1\\\ 1\\\ 0\end{pmatrix} são as coordenadas de T(u_{1}) em relação a B_{2}.
  • A segunda coluna \begin{pmatrix}0\\\ 1\\\ -1\end{pmatrix} são as coordenadas de T(u_{2}) em relação a B_{2}.
Ou seja,
[T(u_{1})]_{B_{2}}=\begin{pmatrix}1\\\ 1\\\ 0\end{pmatrix},\qquad [T(u_{2})]_{B_{2}}=\begin{pmatrix}0\\\ 1\\\ -1\end{pmatrix}.

Passo 3

Converter essas coordenadas em vetores na base canônica de \mathbb{R}^{3}. Lembrando que se [z]_{B_{2}}=(c_{1},c_{2},c_{3})^{T} então z=c_{1}w_{1}+c_{2}w_{2}+c_{3}w_{3}.
Calcule T(u_{1}):
T(u_{1})=1\cdot w_{1}+1\cdot w_{2}+0\cdot w_{3}=w_{1}+w_{2}.
Substituindo w_{1} e w_{2}:
T(u_{1})=(1,0,-1)+(0,1,2)=(1,1,1).
Calcule T(u_{2}):
T(u_{2})=0\cdot w_{1}+1\cdot w_{2}+(-1)\cdot w_{3}=w_{2}-w_{3}.
Substituindo:
T(u_{2})=(0,1,2)-(1,2,0)=(-1,-1,2).
Resumo útil:
T(u_{1})=(1,1,1),\qquad T(u_{2})=(-1,-1,2).

Passo 4

Agora precisamos escrever um vetor arbitrário (x,y)\in\mathbb{R}^{2} em coordenadas da base B_{1}. Ou seja, achar escalares a,b tais que
a\,u_{1}+b\,u_{2}=(x,y).
Escrevendo as componentes:
a(1,-1)+b(0,2)=(a,\,-a+2b)=(x,y).
Isso gera o sistema (com passos explícitos):
  • Da primeira componente: a = x.
  • Da segunda componente: -a + 2b = y. Substituindo a=x:
- x + 2b = y \quad\Rightarrow\quad 2b = x+y \quad\Rightarrow\quad b=\frac{x+y}{2}.
Portanto as coordenadas de (x,y) na base B_{1} são
[(x,y)]_{B_{1}}=\begin{pmatrix}a\\[4pt] b\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}x\\[4pt] \dfrac{x+y}{2}\end{pmatrix}.]

Passo 5

Usar linearidade de T: se (x,y)=a u_{1}+b u_{2} então
T(x,y)=a\,T(u_{1})+b\,T(u_{2}).
Substituindo a=x, b=\dfrac{x+y}{2} e os vetores T(u_{1}), T(u_{2}) que já calculamos:
T(x,y)=x\,(1,1,1)+\frac{x+y}{2}\,(-1,-1,2).
Agora calcular componente a componente (mostrando cada passo):
  • Primeira componente:
x\cdot 1 + \frac{x+y}{2}\cdot(-1)=x-\frac{x+y}{2}=\frac{2x-(x+y)}{2}=\frac{x-y}{2}.
  • Segunda componente: é igual à primeira pelo mesmo cálculo,
\frac{x-y}{2}.
  • Terceira componente:
x\cdot 1 + \frac{x+y}{2}\cdot 2 = x+(x+y)=2x+y.
Portanto, em coordenadas usuais,
T(x,y)=\left(\frac{x-y}{2},\;\frac{x-y}{2},\;2x+y\right).

Passo 6

Agora parte (b): calcular [T(v)]_{B_{2}} para v=(1,1).
Primeiro encontramos as coordenadas de v na base B_{1} usando a fórmula do Passo 4:
a = x = 1,\qquad b=\frac{x+y}{2}=\frac{1+1}{2}=1.
Logo [v]_{B_{1}}=\begin{pmatrix}1\\[4pt]1\end{pmatrix}.
A maneira mais direta de obter [T(v)]_{B_{2}} é multiplicar a matriz [T]_{B_{2}}^{B_{1}} pelo vetor de coordenadas [v]_{B_{1}}:
[T]_{B_{2}}^{B_{1}}\,[v]_{B_{1}}= \begin{pmatrix}1 & 0 \\[4pt] 1 & 1 \\[4pt] 0 & -1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1\\[4pt]1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1\cdot 1 + 0\cdot 1 \\[4pt] 1\cdot 1 + 1\cdot 1 \\[4pt] 0\cdot 1 + (-1)\cdot 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1\\[4pt]2\\[4pt]-1\end{pmatrix}.
Como verificação (opcional): usando a fórmula de T(x,y) do Passo 5,
T(1,1)=\left(\frac{1-1}{2},\frac{1-1}{2},2\cdot 1+1\right)=(0,0,3),
e de fato (0,0,3)=1\cdot w_{1}+2\cdot w_{2}-1\cdot w_{3}, confirmando [T(v)]_{B_{2}}=(1,2,-1)^{T}.]

Resposta

a) T(x,y)=\left(\dfrac{x-y}{2},\;\dfrac{x-y}{2},\;2x+y\right)
b) [T(v)]_{B_{2}}=\begin{pmatrix}1\\[4pt]2\\[4pt]-1\end{pmatrix}]

Exercícios relacionados