Seja A=\left(\begin{array}{cc}1 & 9 \\\\ 0 & 16\end{array}\right). Determine as soluções da equação matricial X^{2}=A.

Passo 1

O enunciado dá a matriz
A=\begin{pmatrix}1 & 9 \\[4pt] 0 & 16\end{pmatrix}
e pede todas as matrizes X (2×2) que satisfazem a equação matricial
X^{2}=A.
Informações dadas importantes:
A_{11}=1,\qquad A_{12}=9,\qquad A_{21}=0,\qquad A_{22}=16.
A pergunta é: quais são todas as matrizes X tais que X^{2}=A?]

Passo 2

Vamos escrever uma matriz 2\times2\) genérica \[X=\begin{pmatrix}a & b \\[4pt] c & d\end{pmatrix},
com incógnitas reais (ou complexas) a,b,c,d. Primeiro calculemos X^{2}. Usando a multiplicação de matrizes,
X^{2}=\begin{pmatrix}a & b \\[4pt] c & d\end{pmatrix}\begin{pmatrix}a & b \\[4pt] c & d\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}a^{2}+bc & ab+bd \\[4pt] ca+dc & cb+d^{2}\end{pmatrix}.
Queremos que essa matriz seja igual a A. Igualando entradas obtemos o sistema de equações:
\begin{cases} a^{2}+bc = 1,\\[4pt] ab+bd = 9,\\[4pt] c(a+d)=0,\\[4pt] cb+d^{2} = 16. \end{cases}
A equação c(a+d)=0\] vem da entrada \((2,1) de X^{2} que deve ser 0. Agora vamos analisar as duas possibilidades que essa equação dá: (i) c=0 ou (ii) a+d=0.]

Passo 3

Caso (i): c=0\). Se \(c=0\), então \(X\) é triangular superior: \[X=\begin{pmatrix}a & b \\[4pt] 0 & d\end{pmatrix}.
As equações reduzem-se a
\begin{cases} a^{2} = 1,\\[4pt] b(a+d)=9,\\[4pt] d^{2} = 16. \end{cases}
A primeira e a terceira são fáceis: a=\pm 1\] e \(d=\pm 4. Para cada escolha de sinais determinamos b pela segunda equação, desde que a+d\neq 0:
b=\frac{9}{a+d}.
Vamos calcular as quatro combinações de (a,d):
  1. a=1,\\ d=4. Então a+d=5 e
b=\frac{9}{5}=\frac{9}{5}.
Portanto
X=\begin{pmatrix}1 & \dfrac{9}{5} \\[6pt] 0 & 4\end{pmatrix}.
  1. a=1,\\ d=-4. Então a+d=-3 e
b=\frac{9}{-3}=-3.
Portanto
X=\begin{pmatrix}1 & -3 \\[6pt] 0 & -4\end{pmatrix}.
  1. a=-1,\\ d=4. Então a+d=3 e
b=\frac{9}{3}=3.
Portanto
X=\begin{pmatrix}-1 & 3 \\[6pt] 0 & 4\end{pmatrix}.
  1. a=-1,\\ d=-4. Então a+d=-5 e
b=\frac{9}{-5}=-\frac{9}{5}.
Portanto
X=\begin{pmatrix}-1 & -\dfrac{9}{5} \\[6pt] 0 & -4\end{pmatrix}.
Note que em nenhum desses quatro casos temos a+d=0, então todos são válidos.]

Passo 4

Caso (ii): a+d=0 com c\neq 0.
Aqui d=-a. Use as equações restantes:
a^{2}+bc=1\qquad\text{e}\qquad cb+d^{2}=16.
Substituindo d^{2}=(-a)^{2}=a^{2}, a segunda equação vira cb+a^{2}=16. A primeira diz bc=1-a^{2}. Como bc=cb, subtraindo as duas expressões obtemos
(cb+a^{2})-(bc+ a^{2}) = 16-(1-a^{2}) \quad\Longrightarrow\quad 0 = 15,
que é uma contradição. Logo não existe solução com a+d=0 e c\neq0.

Passo 5

Concluímos que todas as soluções devem satisfazer c=0 e são exatamente as quatro matrizes encontradas no Passo 3. Podemos também interpretar o resultado pela diagonalização de A: A tem autovalores distintos 1 e 16, logo é diagonalizável, e cada escolha independente dos sinais das raízes quadradas dos autovalores ( \pm 1 e \pm 4) dá uma raiz quadrada de A. Os quatro resultados acima coincidem com essas quatro escolhas.

Resposta

\begin{pmatrix}1 & \dfrac{9}{5} \\[6pt] 0 & 4\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}1 & -3 \\[6pt] 0 & -4\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}-1 & 3 \\[6pt] 0 & 4\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}-1 & -\dfrac{9}{5} \\[6pt] 0 & -4\end{pmatrix}

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