A pergunta é: quais são todas as matrizes X tais que X^{2}=A?]
Passo 2
Vamos escrever uma matriz 2\times2\) genérica
\[X=\begin{pmatrix}a & b \\[4pt] c & d\end{pmatrix},
com incógnitas reais (ou complexas) a,b,c,d. Primeiro calculemos X^{2}. Usando a multiplicação de matrizes,
X^{2}=\begin{pmatrix}a & b \\[4pt] c & d\end{pmatrix}\begin{pmatrix}a & b \\[4pt] c & d\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}a^{2}+bc & ab+bd \\[4pt] ca+dc & cb+d^{2}\end{pmatrix}.
Queremos que essa matriz seja igual a A. Igualando entradas obtemos o sistema de equações:
A equação c(a+d)=0\] vem da entrada \((2,1) de X^{2} que deve ser 0. Agora vamos analisar as duas possibilidades que essa equação dá: (i) c=0 ou (ii) a+d=0.]
Passo 3
Caso (i): c=0\).
Se \(c=0\), então \(X\) é triangular superior:
\[X=\begin{pmatrix}a & b \\[4pt] 0 & d\end{pmatrix}.
que é uma contradição. Logo não existe solução com a+d=0 e c\neq0.
Passo 5
Concluímos que todas as soluções devem satisfazer c=0 e são exatamente as quatro matrizes encontradas no Passo 3. Podemos também interpretar o resultado pela diagonalização de A: A tem autovalores distintos 1 e 16, logo é diagonalizável, e cada escolha independente dos sinais das raízes quadradas dos autovalores (\pm 1 e \pm 4) dá uma raiz quadrada de A. Os quatro resultados acima coincidem com essas quatro escolhas.