Determine:
a) [T] sendo T(x, y, z, w)=(y, x+y, z-2 w, x+y-z-w);
b) T(x, y) sendo T_{1}(3,-5)=(1,2,-1,-2), T_{1}(1,1)=(0,-2,3,6).
Passo 1
O enunciado pede duas coisas separadas:
a) Determinar [T] para a aplicação T:\mathbb{R}^{4}\to\mathbb{R}^{4} dada por
T(x,y,z,w)=(y,\;x+y,\;z-2w,\;x+y-z-w).
b) Determinar [T] para uma aplicação T:\mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R}^{4} (vou chamar de T também) sabendo que
T(3,-5)=(1,2,-1,-2),\qquad T(1,1)=(0,-2,3,6).
Informações relevantes fornecidas:
No item (a) ficou explícita a fórmula componente a componente da imagem de um vetor (x,y,z,w).
No item (b) conhecemos as imagens de dois vetores do domínio, (3,-5) e (1,1), cada imagem é um vetor em \mathbb{R}^{4}.
No item (b) devemos usar essas informações para obter a matriz de T em relação às bases canônicas (assumidas padrão), ou seja, encontrar as imagens de (1,0) e (0,1) e formar a matriz cujas colunas são essas imagens.
Passo 2
Ideia e ferramentas que vamos usar (explicação didática e passo a passo):
Para obter a matriz de uma aplicação linear em relação às bases canônicas, basta calcular as imagens dos vetores da base canônica do domínio e colocar cada imagem como coluna da matriz.
No item (b) não nos deram diretamente T(e_{1}) e T(e_{2}), mas nos deram T(v_{1}) e T(v_{2}) com v_{1}=(3,-5) e v_{2}=(1,1). Se v_{1} e v_{2} formam uma base do \mathbb{R}^{2} (ou seja, são linearmente independentes), então qualquer vetor do domínio pode ser escrito como combinação linear desses dois. Em particular e_{1} e e_{2} podem ser escritos como combinações lineares de v_{1} e v_{2}. Aplicando T e usando linearidade obtemos T(e_{j}) como combinações das imagens conhecidas T(v_{1}) e T(v_{2}).
Para resolver as combinações, montamos e resolvemos sistemas lineares 2×2. Vou mostrar isso explicitamente e com detalhe.
Passo 3
Resolvendo o item (a) com passo a passo concreto (calcule as imagens dos vetores da base canônica).
Calcule T(e_{1}) com e_{1}=(1,0,0,0). Substituindo em cada componente da definição:
Como o determinante é \,8\neq 0, v_{1} e v_{2} são linearmente independentes e formam uma base de \mathbb{R}^{2}. Portanto podemos escrever qualquer vetor como combinação linear de v_{1} e v_{2}.
Queremos encontrar T(e_{1}) e T(e_{2}). Escrevemos