Determine:
a) [T] sendo T(x, y, z, w)=(y, x+y, z-2 w, x+y-z-w);
b) T(x, y) sendo T_{1}(3,-5)=(1,2,-1,-2), T_{1}(1,1)=(0,-2,3,6).

Passo 1

O enunciado pede duas coisas separadas:
a) Determinar [T] para a aplicação T:\mathbb{R}^{4}\to\mathbb{R}^{4} dada por
T(x,y,z,w)=(y,\;x+y,\;z-2w,\;x+y-z-w).
b) Determinar [T] para uma aplicação T:\mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R}^{4} (vou chamar de T também) sabendo que
T(3,-5)=(1,2,-1,-2),\qquad T(1,1)=(0,-2,3,6).
Informações relevantes fornecidas:
  • No item (a) ficou explícita a fórmula componente a componente da imagem de um vetor (x,y,z,w).
  • No item (b) conhecemos as imagens de dois vetores do domínio, (3,-5) e (1,1), cada imagem é um vetor em \mathbb{R}^{4}.
  • No item (b) devemos usar essas informações para obter a matriz de T em relação às bases canônicas (assumidas padrão), ou seja, encontrar as imagens de (1,0) e (0,1) e formar a matriz cujas colunas são essas imagens.

Passo 2

Ideia e ferramentas que vamos usar (explicação didática e passo a passo):
  • Para obter a matriz de uma aplicação linear em relação às bases canônicas, basta calcular as imagens dos vetores da base canônica do domínio e colocar cada imagem como coluna da matriz.
  • A base canônica de \mathbb{R}^{4} é formada por
e_{1}=(1,0,0,0),\quad e_{2}=(0,1,0,0),\quad e_{3}=(0,0,1,0),\quad e_{4}=(0,0,0,1).
Coluna j da matriz [T] é T(e_{j}).
  • No item (b) não nos deram diretamente T(e_{1}) e T(e_{2}), mas nos deram T(v_{1}) e T(v_{2}) com v_{1}=(3,-5) e v_{2}=(1,1). Se v_{1} e v_{2} formam uma base do \mathbb{R}^{2} (ou seja, são linearmente independentes), então qualquer vetor do domínio pode ser escrito como combinação linear desses dois. Em particular e_{1} e e_{2} podem ser escritos como combinações lineares de v_{1} e v_{2}. Aplicando T e usando linearidade obtemos T(e_{j}) como combinações das imagens conhecidas T(v_{1}) e T(v_{2}).
  • Para resolver as combinações, montamos e resolvemos sistemas lineares 2×2. Vou mostrar isso explicitamente e com detalhe.

Passo 3

Resolvendo o item (a) com passo a passo concreto (calcule as imagens dos vetores da base canônica).
Calcule T(e_{1}) com e_{1}=(1,0,0,0). Substituindo em cada componente da definição:
T(1,0,0,0)=(y,\;x+y,\;z-2w,\;x+y-z-w)=(0,\;1+0,\;0-0,\;1+0-0-0).
Portanto
T(e_{1})=(0,1,0,1).
Calcule T(e_{2}) com e_{2}=(0,1,0,0):
T(0,1,0,0)=(1,\;0+1,\;0-0,\;0+1-0-0)=(1,1,0,1).
Logo
T(e_{2})=(1,1,0,1).
Calcule T(e_{3}) com e_{3}=(0,0,1,0):
T(0,0,1,0)=(0,\;0+0,\;1-0,\;0+0-1-0)=(0,0,1,-1).
Logo
T(e_{3})=(0,0,1,-1).
Calcule T(e_{4}) com e_{4}=(0,0,0,1):
T(0,0,0,1)=(0,\;0+0,\;0-2\cdot1,\;0+0-0-1)=(0,0,-2,-1).
Logo
T(e_{4})=(0,0,-2,-1).

Passo 4

Montando a matriz [T] do item (a):
  • Coluna 1 = T(e_{1})=(0,1,0,1).
  • Coluna 2 = T(e_{2})=(1,1,0,1).
  • Coluna 3 = T(e_{3})=(0,0,1,-1).
  • Coluna 4 = T(e_{4})=(0,0,-2,-1).
Assim a matriz 4\times 4 associado a T (colunas na ordem e_{1},e_{2},e_{3},e_{4}) é
[T]= \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & 0\\[4pt] 1 & 1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 1 & -2\\[4pt] 1 & 1 & -1 & -1 \end{pmatrix},
onde cada coluna é a imagem do correspondente vetor da base canônica.]

Passo 5

Agora o item (b), passo a passo: primeiro verificamos se os vetores dados no domínio formam base.
Os vetores dados são v_{1}=(3,-5) e v_{2}=(1,1). Calcule o determinante da matriz cujas colunas são v_{1} e v_{2}:
\det\begin{pmatrix}3 & 1\\[4pt]-5 & 1\end{pmatrix}=3\cdot 1 - 1\cdot(-5)=3+5=8.
Como o determinante é \,8\neq 0, v_{1} e v_{2} são linearmente independentes e formam uma base de \mathbb{R}^{2}. Portanto podemos escrever qualquer vetor como combinação linear de v_{1} e v_{2}.
Queremos encontrar T(e_{1}) e T(e_{2}). Escrevemos
e_{1}=a\,v_{1}+b\,v_{2},\qquad e_{2}=c\,v_{1}+d\,v_{2},
e determinamos a,b,c,d resolvendo sistemas 2×2. Depois usaremos linearidade:
T(e_{1})=a\,T(v_{1})+b\,T(v_{2}),\qquad T(e_{2})=c\,T(v_{1})+d\,T(v_{2}).]

Passo 6

Calcule a\) e \(b\) tal que \(e_{1}=(1,0)=a(3,-5)+b(1,1)\). Isso dá o sistema \[\begin{cases} 3a + b = 1,\\[4pt] -5a + b = 0. \end{cases}
Subtraindo a segunda equação da primeira obtemos 8a=1\], logo \[a=\dfrac{1}{8}. Então b= -3a + 1 = 1 - 3\cdot\dfrac{1}{8}=\dfrac{5}{8}.
Agora calcule T(e_{1}) usando T(v_{1})=(1,2,-1,-2) e T(v_{2})=(0,-2,3,6):
T(e_{1})=\tfrac{1}{8}T(v_{1})+\tfrac{5}{8}T(v_{2}).
Calcule coordenada a coordenada:
\tfrac{1}{8}(1,2,-1,-2)+\tfrac{5}{8}(0,-2,3,6) =\left(\tfrac{1}{8},\;\tfrac{2}{8}-\tfrac{10}{8},\;-\tfrac{1}{8}+\tfrac{15}{8},\;-\tfrac{2}{8}+\tfrac{30}{8}\right).
Simplificando:
T(e_{1})=\left(\tfrac{1}{8},\;-1,\;\tfrac{7}{4},\;\tfrac{7}{2}\right).
Agora calcule c e d tal que e_{2}=(0,1)=c(3,-5)+d(1,1). Sistema:
\begin{cases} 3c + d = 0,\\[4pt] -5c + d = 1. \end{cases}
Subtraindo a primeira da segunda obtemos 8c=-1\], logo \(c=-\dfrac{1}{8}. Então d=-3c= -3\cdot(-\tfrac{1}{8})=\tfrac{3}{8}.
Use linearidade para T(e_{2}):
T(e_{2})=-\tfrac{1}{8}T(v_{1})+\tfrac{3}{8}T(v_{2}).
Calcule coordenada a coordenada:
-\tfrac{1}{8}(1,2,-1,-2)+\tfrac{3}{8}(0,-2,3,6) =\left(-\tfrac{1}{8},\;-\tfrac{2}{8}-\tfrac{6}{8},\;\tfrac{1}{8}+\tfrac{9}{8},\;\tfrac{2}{8}+\tfrac{18}{8}\right).
Simplificando:
T(e_{2})=\left(-\tfrac{1}{8},\;-1,\;\tfrac{5}{4},\;\tfrac{5}{2}\right).]

Passo 7

Montando a matriz [T] do item (b): é uma matriz 4\times 2 cujas colunas são T(e_{1}) e T(e_{2}), obtidas acima. Assim
[T]= \begin{pmatrix} \tfrac{1}{8} & -\tfrac{1}{8}\\[6pt] -1 & -1\\[6pt] \tfrac{7}{4} & \tfrac{5}{4}\\[6pt] \tfrac{7}{2} & \tfrac{5}{2} \end{pmatrix}.]

Resposta

\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & 0\\[4pt] 1 & 1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 1 & -2\\[4pt] 1 & 1 & -1 & -1 \end{pmatrix}
\begin{pmatrix} \tfrac{1}{8} & -\tfrac{1}{8}\\[6pt] -1 & -1\\[6pt] \tfrac{7}{4} & \tfrac{5}{4}\\[6pt] \tfrac{7}{2} & \tfrac{5}{2} \end{pmatrix}]

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