Umas das aplicações mais importantes de série é poder reescrever uma função complicada de ser trabalhada na forma de série e poder aproximar a função por truncamentos da série. Encontre os quatro primeiros termos da série de Taylor (
e
) da função
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os quatro primeiros termos da série de Taylor da função $ f(x) = x \cos(x) $ para os valores de $ n = 0, 1, 2 $ e $ n = 3 $. Vamos usar conceitos de séries de Taylor e conhecimentos sobre funções trigonométricas para chegar na resposta.
Passo 2
Primeiro, lembremos que a série de Taylor de uma função em torno de $ x = 0 $ (também chamada de série de Maclaurin) é uma forma de aproximar a função usando polinômios. A fórmula geral da série de Taylor para uma função $ f(x) $ é:
Onde $ f^{(k)}(0) $ é a $ k $-ésima derivada de $ f(x) $ avaliada em $ x = 0 $, e $ k! $ é o fatorial de $ k $.
Passo 3
Vamos começar encontrando a série de Taylor da função $ \cos(x) $. Sabemos que:
Agora, como queremos a série para $ f(x) = x \cos(x) $, basta multiplicar toda a série de $ \cos(x) $ por $ x $:
Passo 4
Vamos multiplicar $ x $ com cada termo da série de $ \cos(x) $:
Como precisamos dos quatro primeiros termos (até $ n = 3 $), vamos considerar os termos até $ x^7 $, mas como estamos interessados até $ n=3 $, focaremos nos termos de menor potência:
Resposta
Os quatro primeiros termos da série de Taylor de $ f(x) = x \cos(x) $ são: