Mostre quais dos seguinte limite existem ou prove que não existem. Justifique sua resposta.
lim (x, y) (0,0) x^2-x yraizx-raizy

Passo 1

O enunciado pede o limite de uma função de duas variáveis
lim(x,y)to(0,0) x^2 - x yraizx - raizy
Esse é um caso de forma indeterminada 0/0. Para resolver, vamos usar conhecimentos de limites em R^2, fatoração e racionalização de denominador.

Passo 2

Percebemos que o numerador fatoriza em x(x - y) e o denominador é raizx - raizy. Para eliminar a indeterminação, multiplicamos topo e fundo por raizx + raizy:
x^2 - x yraizx - raizy;=;x(x-y)raizx-raizy;cdot;raizx+raizyraizx+raizy
Como xneq y no domínio próximo de (0,0), o fator (x-y) corta-se:

Passo 3

Após a racionalização, obtemos em bloco a expressão simplificada:
x(x-y)(raizx+raizy)(raizx-raizy)(raizx+raizy) = xl(raizx+raizyr)
Logo, para todo (x,y) no domínio (com x>=0,y>=0,xneq y), a função vale x(raizx+raizy).

Passo 4

Basta então estudar
lim(x,y)to(0,0) xl(raizx+raizyr)
Como x,yto0^+, temos
0<= x(raizx+raizy)<= x(raizx+raizx)=2x^3/2
E 2x^3/2to0 quando xto0. Pelo teorema do confronto, o limite da nossa função é 0.

Passo 5

Concluímos que, mesmo vindo de qualquer direção (sempre em x,y>=0 e xneq y), a expressão tende a 0. Portanto, o limite existe e vale zero.

Resposta

0

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