Mostre quais dos seguinte limite existem ou prove que não existem. Justifique sua resposta.
Passo 1
O enunciado pede o limite de uma função de duas variáveis
Esse é um caso de forma indeterminada 0/0. Para resolver, vamos usar conhecimentos de limites em
, fatoração e racionalização de denominador.
Passo 2
Percebemos que o numerador fatoriza em
e o denominador é
. Para eliminar a indeterminação, multiplicamos topo e fundo por
:
Como
no domínio próximo de
, o fator
corta-se:
Passo 3
Após a racionalização, obtemos em bloco a expressão simplificada:
Logo, para todo
no domínio (com
), a função vale
.
Passo 4
Basta então estudar
Como
, temos
E
quando
. Pelo teorema do confronto, o limite da nossa função é 0.
Passo 5
Concluímos que, mesmo vindo de qualquer direção (sempre em
e
), a expressão tende a 0. Portanto, o limite existe e vale zero.
Resposta
0