A série abaixo é conhecida como série de Basileia e recebeu esse nome, pois o problema foi discutido inicialmente pelos irmãos Bernoulli em Basileia, Suíça. Eles, juntamente com outros matemáticos, tentaram determinar a soma dessa série lá início do século 18
sumn=1^infty 1n^2=1+14+19+cdots
Mas, foi Leonard Euler em 1734 que provou pela primeira vez que o resultado dessa série é pi^26. Analisando a série acima, marque qual das afirmações abaixo está correta:
a) A série diverge, porque o temos an não se aproxima de 0 .
b) A série é convergente e podemos mostrar isso usando o teste da integral.
c) A série converge, mas a soma não tem um valor fixo.
d) A série diverge, porquê a sequencia an não é decrescente.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma série chamada “série de Basileia”, que é a soma dos termos $ \frac{1}{n^{2}} $ para $ n $ indo de 1 até o infinito:
1n^2
O conteúdo aqui envolve conceitos de séries infinitas e convergência. Para resolver isso, vamos precisar saber sobre testes de convergência de séries, especificamente o teste da integral.

Passo 2

Vamos analisar cada afirmação para ver qual está correta.
a) A série diverge, porque temos $ a_{n} $ que não se aproxima de 0.
  • Primeiro, para uma série $ \sum a_{n} $ convergir, os termos $ a_{n} $ precisam se aproximar de 0 quando $ n $ tende ao infinito. No caso, $ a_{n} = \frac{1}{n^{2}} $ claramente tende a 0 conforme $ n $ aumenta. Então, essa afirmação está errada.

Passo 3

b) A série é convergente e podemos mostrar isso usando o teste da integral.
  • O teste da integral nos ajuda a determinar a convergência de uma série comparando-a com uma integral. Para $ a_{n} = \frac{1}{n^{2}} $, consideramos a função $ f(x) = \frac{1}{x^{2}} $, que é positiva, contínua e decrescente para $ x \geq 1 $.
  • Calculamos a integral:
an = 1n^2
  • Como a integral converge (resultado é finito), pelo teste da integral, a série também converge. Então, essa afirmação está correta.

Passo 4

c) A série converge, mas a soma não tem um valor fixo.
  • Sabemos que, de fato, Euler mostrou que a soma dessa série é $ \frac{\pi^{2}}{6} $, que é um valor fixo. Portanto, essa afirmação está errada.

Passo 5

d) A série diverge, porque a sequência $ a_{n} $ não é decrescente.
  • Na verdade, a sequência $ a_{n} = \frac{1}{n^{2}} $ é decrescente, já que conforme $ n $ aumenta, $ a_{n} $ diminui. Portanto, essa afirmação também está errada.

Resposta

A afirmação correta é a b) A série é convergente e podemos mostrar isso usando o teste da integral.

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