Mostre quais dos seguinte limite existem ou prove que não existem. Justifique sua resposta.
lim (x, y) (0,0) x y^3x^2+2 y^6

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema pede para a gente verificar se o limite da função x y^3x^2+2 y^6 existe quando (x, y) se aproxima de (0,0). Estamos trabalhando com limites multivariáveis, e para resolver isso, vamos precisar analisar como a função se comporta quando nos aproximamos do ponto (0,0) por diferentes caminhos.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar calcular o limite diretamente substituindo x = 0 e y = 0:
0 cdot 0^30^2 + 2 cdot 0^6 = 00
Aí temos uma forma indeterminada 00, então precisamos de outra abordagem.

Passo 3

Uma maneira comum de investigar limites multivariáveis é verificar o limite ao longo de diferentes caminhos que chegam ao ponto (0,0). Se obtivermos valores diferentes para o limite dependendo do caminho escolhido, então o limite geral não existe.

Passo 4

Vamos primeiro considerar o caminho onde y = 0. Substituindo na função:
x cdot 0^3x^2 + 2 cdot 0^6 = 0x^2 = 0
Portanto, ao longo de y = 0, o limite é 0.

Passo 5

Agora, vamos considerar o caminho onde x = 0. Substituindo na função:
0 cdot y^30^2 + 2 y^6 = 02 y^6 = 0
Novamente, o limite é 0 ao longo de x = 0.

Passo 6

Vamos tentar um caminho mais geral, onde x = k y^3, com k sendo uma constante. Substituindo na função:
k y^3 cdot y^3(k y^3)^2 + 2 y^6 = k y^6k^2 y^6 + 2 y^6 = k y^6y^6(k^2 + 2) = kk^2 + 2
Aqui, percebemos que o limite depende do valor de k. Isso significa que dependendo do valor de k, o limite pode ser diferente.

Passo 7

Por exemplo, se escolhermos k = 1, o limite será:
11^2 + 2 = 13
Se escolhermos k = 2, o limite será:
22^2 + 2 = 26 = 13
Mesmo com k diferentes, o limite acabou sendo o mesmo. Isso sugere que talvez o limite exista e seja 0. Mas para ter certeza, vamos analisar de outra forma.

Passo 8

Vamos usar coordenadas polares para verificar o limite de forma geral. Em coordenadas polares, temos:
x = r cos theta y = r sin theta
Substituindo na função:
r cos theta cdot (r sin theta)^3(r cos theta)^2 + 2 (r sin theta)^6 = r cos theta cdot r^3 sin^3 thetar^2 cos^2 theta + 2 r^6 sin^6 theta = r^4 cos theta sin^3 thetar^2 cos^2 theta + 2 r^6 sin^6 theta

Passo 9

Agora, vamos fatorar r^2 no denominador:
r^4 cos theta sin^3 thetar^2 (cos^2 theta + 2 r^4 sin^6 theta) = r^2 cos theta sin^3 thetacos^2 theta + 2 r^4 sin^6 theta
Quando r 0, o termo 2 r^4 sin^6 theta no denominador se torna negligível, então a expressão fica aproximadamente:
r^2 cos theta sin^3 thetacos^2 theta = r^2 sin^3 thetacos theta

Passo 10

Vemos que, para qualquer valor de theta, quando r 0, o termo r^2 tende a 0. Portanto, o limite da função é 0 independentemente do caminho escolhido.

Resposta

O limite existe e é igual a 0.

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