Mostre quais dos seguinte limite existem ou prove que não existem. Justifique sua resposta.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema pede para a gente verificar se o limite da função
existe quando
se aproxima de
. Estamos trabalhando com limites multivariáveis, e para resolver isso, vamos precisar analisar como a função se comporta quando nos aproximamos do ponto
por diferentes caminhos.
Passo 2
Primeiro, vamos tentar calcular o limite diretamente substituindo
e
:
Aí temos uma forma indeterminada
, então precisamos de outra abordagem.
Passo 3
Uma maneira comum de investigar limites multivariáveis é verificar o limite ao longo de diferentes caminhos que chegam ao ponto
. Se obtivermos valores diferentes para o limite dependendo do caminho escolhido, então o limite geral não existe.
Passo 4
Vamos primeiro considerar o caminho onde
. Substituindo na função:
Portanto, ao longo de
, o limite é
.
Passo 5
Agora, vamos considerar o caminho onde
. Substituindo na função:
Novamente, o limite é
ao longo de
.
Passo 6
Vamos tentar um caminho mais geral, onde
, com
sendo uma constante. Substituindo na função:
Aqui, percebemos que o limite depende do valor de
. Isso significa que dependendo do valor de
, o limite pode ser diferente.
Passo 7
Por exemplo, se escolhermos
, o limite será:
Se escolhermos
, o limite será:
Mesmo com
diferentes, o limite acabou sendo o mesmo. Isso sugere que talvez o limite exista e seja
. Mas para ter certeza, vamos analisar de outra forma.
Passo 8
Vamos usar coordenadas polares para verificar o limite de forma geral. Em coordenadas polares, temos:
Substituindo na função:
Passo 9
Agora, vamos fatorar
no denominador:
Quando
, o termo
no denominador se torna negligível, então a expressão fica aproximadamente:
Passo 10
Vemos que, para qualquer valor de
, quando
, o termo
tende a
. Portanto, o limite da função é
independentemente do caminho escolhido.
Resposta
O limite existe e é igual a
.