Um trem se move a uma velocidade constante de \mathbf{v}=20 \mathrm{~m} / \mathrm{s} em linha reta em relação à plataforma da estação (referencial S ). Dentro do trem, um passageiro lança uma bola para a frente, no mesmo sentido do movimento do trem, com uma velocidade de u’ =5 \mathrm{~ms} em relação ao trem (referencial \mathrm{S}^{\prime} ). Qual é a velocidade u da bola em relação à plataforma da estação, de acordo com as transformações de Galileu?
(1.00 ponto)
\bigcirc a) 15 \mathrm{~m} / \mathrm{s}
\bigcirc b) 5 \mathrm{~m} / \mathrm{s}
\bigcirc c) 25 \mathrm{~m} / \mathrm{s}
\bigcirc d) NDA

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara:
  • Velocidade do trem (referencial da plataforma S): v = 20\\ \mathrm{m/s}.
  • Velocidade da bola medida dentro do trem (referencial do trem S'), lançada para frente no mesmo sentido do movimento do trem: u' = 5\\ \mathrm{m/s}.
  • Pergunta: qual é a velocidade u da bola em relação à plataforma da estação (referencial S), usando as transformações de Galileu?

Passo 2

Escrevemos as transformações de Galileu para posições e tempo entre os dois referenciais (com movimento relativo ao longo da mesma linha e sentido):
x = x' + v\,t
t = t'
Explicando o que cada símbolo significa: x é a posição medida no referencial S (plataforma), x' é a posição medida no referencial S' (trem), v é a velocidade constante do trem em relação à plataforma, e t é o tempo (o mesmo em ambos os referenciais segundo Galileu).

Passo 3

Agora obtemos a relação entre velocidades diferenciando a expressão de posição em relação ao tempo (a derivada de posição em relação ao tempo é velocidade). Definindo
u = \frac{dx}{dt}\quad\text{e}\quad u' = \frac{dx'}{dt},
derivando \;x = x' + v t\; em relação a t obtemos
\frac{dx}{dt} = \frac{dx'}{dt} + v.
Logo, a relação de adição de velocidades de Galileu é
u = u' + v.
Aqui u é a velocidade da bola medida na plataforma, u' é a velocidade da bola medida no trem, e v é a velocidade do trem em relação à plataforma. A interpretação física: como os tempos são os mesmos e as posições se somam, as velocidades se somam (com sinais conforme o sentido).

Passo 4

Substituímos os valores dados: u' = 5\\ \mathrm{m/s} e v = 20\\ \mathrm{m/s}. Usando u = u' + v temos
u = 5 + 20 = 25\\ \mathrm{m/s}.
(Verificação rápida de sentido: como a bola é lançada para a frente no mesmo sentido do trem, somamos as magnitudes.)

Passo 5

Portanto, a alternativa correta é a que corresponde a 25\\ \mathrm{m/s}, ou seja a letra (c).

Resposta

(c) 25\\ \mathrm{m/s}

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