Uma tubulação de aço de 75 mm de diâmetro está coberta com uma camada de 15 mm de amianto que está coberto por uma camada de lã de vidro de 50 mm . Se a temperatura da superfície externa do tubo é de
e a temperatura externa da lã de vidro é de
, determine:
a) O fluxo de calor transferido por metro de tubo, através das camadas de isolante;
b) A temperatura intermediária entre o amianto e a lã de vidro.
a) O fluxo de calor transferido por metro de tubo, através das camadas de isolante;
b) A temperatura intermediária entre o amianto e a lã de vidro.
| Isolante |
|
|
|---|---|---|
| Lã de vidro | -7 | 0,03 |
| 38 | 0,041 | |
| 93 | 0,054 | |
| Amianto | 200 | 0,204 |
| 100 | 0,189 |
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
- (a) o fluxo de calor por metro de tubo através das duas camadas de isolante (amianto + lã de vidro);
- (b) a temperatura intermediária na interface entre o amianto e a lã de vidro.
Dados fornecidos (peguei estes valores da tabela e do enunciado):
- Diâmetro externo do tubo:
(logo o raio externo do tubo é ). - Espessura do amianto:
, portanto o raio externo do amianto é . - Espessura da lã de vidro:
, portanto o raio externo da lã é . - Temperatura da superfície externa do tubo (superfície interna do isolamento):
. - Temperatura externa da lã de vidro (superfície externa do isolamento):
. - Condutividades térmicas da tabela (peguei da tabela do enunciado):
- Lã de vidro:
depende da temperatura: , , (unidades ). - Amianto:
, (mesma unidade).
- Lã de vidro:
- Precisamos determinar o fluxo por metro de tubo (comprimento
) e a temperatura de interface entre amianto e lã.
Passo 2
Conceito físico e fórmula que vamos usar (explicadinho): transferência de calor em regime estacionário através de camadas cilíndricas concêntricas segue a versão radial da lei de Fourier. Para uma casca cilíndrica de raio interno
e raio externo
, condutividade
e comprimento
, a resistência térmica à condução é
Aqui:
-
tem unidade e dá a “dificuldade” que a camada opõe ao fluxo de calor radial; -
são raios interno e externo da camada; -
é a condutividade térmica (em ); -
é comprimento do cilindro (no nosso caso , então o resultado será por metro).
Para duas camadas concêntricas (amianto interno entre
e
, lã externa entre
e
), as resistências se somam em série:
onde
é o fluxo por unidade de comprimento (W/m).
Observação importante: as condutividades
variam com a temperatura. Como cada camada tem temperaturas entre suas superfícies, vamos estimar
em cada camada usando o valor de
correspondente à temperatura média da camada (método prático). Como a temperatura da interface
é desconhecida, utilizaremos um procedimento iterativo: chutar
, calcular
(por interpolação linear na tabela) e
, obter novo
por
e repetir até convergência. Vou explicar como faço a interpolação linear quando for usar.
Passo 3
Calculemos os raios (já escritos no Passo 1, repito em fórmulas):
Também calculemos os logaritmos geométricos que aparecem nas resistências (valores numéricos úteis):
Esses valores vão entrar direto nas fórmulas de
.
Passo 4
Regra de interpolação linear para
(método que usei para obter
de um certo valor de temperatura):
Se a tabela dá e
, e queremos
em
entre
e
, então
Se a tabela dá
Vou usar essa fórmula para o amianto (tabela em
e
) e para a lã de vidro (valores em
e
). Se for necessário extrapolar um pouco (temperatura média maior que
), usei a mesma regra linear para estender o comportamento (explico quando ocorrer).
Passo 5
Façamos a iteração. Inicialmente chuto uma temperatura de interface:
Agora calculo as condutividades estimadas nas duas camadas usando médias de temperatura em cada camada:
- Para o amianto: temperatura média aproximada
.
Interpolação entree : - Para a lã: temperatura média aproximada
.
Interpolação entree :
Passo 6
Com esses
iniciais calculo as resistências:
Total:
Fluxo por metro:
Então a nova estimativa de
é:
Passo 7
Repetimos com
.
Calcule as temperaturas médias:
Interpolação/extrapolação dos
:
- Amianto: entre
e :
- Lã: tabela vai até
. Estamos em média , fiz extrapolação linear:
slope(mesmo coeficiente usado antes), delta :
Passo 8
Calcule as resistências com esses
:
Fluxo:
Nova
:
Passo 9
Mais uma iteração para confirmar convergência usando
.
Médias:
Interpolando:
Resistências:
Fluxo:
Temperatura de interface:
Passo 10
A iteração já está praticamente convergida:
variou de
para
e o fluxo está próximo de
. Para reporte, tomo a solução convergida:
(Se desejar, podem-se fazer mais iterações; as variações serão da ordem de décimos de grau e décimos de W/m.)
Resposta
(a)
(b)