Uma tubulação de aço de 75 mm de diâmetro está coberta com uma camada de 15 mm de amianto que está coberto por uma camada de lã de vidro de 50 mm . Se a temperatura da superfície externa do tubo é de 200^{\circ} \mathrm{C} e a temperatura externa da lã de vidro é de 38^{\circ} \mathrm{C}, determine:
a) O fluxo de calor transferido por metro de tubo, através das camadas de isolante;
b) A temperatura intermediária entre o amianto e a lã de vidro.
Isolante \mathrm{T}\left({ }^{\circ} \mathrm{C}\right) \mathrm{K}\left(\mathrm{W} / \mathrm{m}^{\circ} \mathrm{C}\right)
Lã de vidro -7 0,03
38 0,041
93 0,054
Amianto 200 0,204
100 0,189

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  • (a) o fluxo de calor por metro de tubo através das duas camadas de isolante (amianto + lã de vidro);
  • (b) a temperatura intermediária na interface entre o amianto e a lã de vidro.
Dados fornecidos (peguei estes valores da tabela e do enunciado):
  • Diâmetro externo do tubo: 75\\ \mathrm{mm} (logo o raio externo do tubo é \;r_1=\dfrac{75}{2}\\ \mathrm{mm}=37{,}5\\ \mathrm{mm}=0{,}0375\\ \mathrm{m}).
  • Espessura do amianto: 15\\ \mathrm{mm}=0{,}015\\ \mathrm{m}, portanto o raio externo do amianto é \;r_2=r_1+0{,}015=0{,}0525\\ \mathrm{m}.
  • Espessura da lã de vidro: 50\\ \mathrm{mm}=0{,}050\\ \mathrm{m}, portanto o raio externo da lã é \;r_3=r_2+0{,}050=0{,}1025\\ \mathrm{m}.
  • Temperatura da superfície externa do tubo (superfície interna do isolamento): \;T_1=200^\circ\mathrm{C}.
  • Temperatura externa da lã de vidro (superfície externa do isolamento): \;T_3=38^\circ\mathrm{C}.
  • Condutividades térmicas da tabela (peguei da tabela do enunciado):
    • Lã de vidro: k depende da temperatura: -7^\circ\mathrm{C}\to 0{,}03, 38^\circ\mathrm{C}\to 0{,}041, 93^\circ\mathrm{C}\to 0{,}054 (unidades \mathrm{W}/\mathrm{m}\,^\circ\mathrm{C}).
    • Amianto: 100^\circ\mathrm{C}\to 0{,}189, 200^\circ\mathrm{C}\to 0{,}204 (mesma unidade).
  • Precisamos determinar o fluxo por metro de tubo (comprimento L=1\\ \mathrm{m}) e a temperatura de interface T_2 entre amianto e lã.

Passo 2

Conceito físico e fórmula que vamos usar (explicadinho): transferência de calor em regime estacionário através de camadas cilíndricas concêntricas segue a versão radial da lei de Fourier. Para uma casca cilíndrica de raio interno r_a e raio externo r_b, condutividade k e comprimento L, a resistência térmica à condução é
R_\text{cond}=\frac{\ln\!\left(\dfrac{r_b}{r_a}\right)}{2\pi k L}.
Aqui:
  • R_\text{cond} tem unidade \mathrm{K}/\mathrm{W} e dá a “dificuldade” que a camada opõe ao fluxo de calor radial;
  • r_a,r_b são raios interno e externo da camada;
  • k é a condutividade térmica (em \mathrm{W}/\mathrm{m}\,^\circ\mathrm{C});
  • L é comprimento do cilindro (no nosso caso L=1\\ \mathrm{m}, então o resultado será por metro).
Para duas camadas concêntricas (amianto interno entre r_1 e r_2, lã externa entre r_2 e r_3), as resistências se somam em série:
R_\text{total}=R_\text{amianto}+R_\text{lã}, \qquad q'=\frac{T_1-T_3}{R_\text{total}},ã
onde q' é o fluxo por unidade de comprimento (W/m).
Observação importante: as condutividades k variam com a temperatura. Como cada camada tem temperaturas entre suas superfícies, vamos estimar k em cada camada usando o valor de k correspondente à temperatura média da camada (método prático). Como a temperatura da interface T_2 é desconhecida, utilizaremos um procedimento iterativo: chutar T_2, calcular k (por interpolação linear na tabela) e q', obter novo T_2 por T_2=T_1-q'R_\text{amianto} e repetir até convergência. Vou explicar como faço a interpolação linear quando for usar.

Passo 3

Calculemos os raios (já escritos no Passo 1, repito em fórmulas):
r_1=0{,}0375\\ \mathrm{m},\quad r_2=0{,}0525\\ \mathrm{m},\quad r_3=0{,}1025\\ \mathrm{m}.
Também calculemos os logaritmos geométricos que aparecem nas resistências (valores numéricos úteis):
\ln\!\left(\frac{r_2}{r_1}\right)=\ln(0{,}0525/0{,}0375)=\ln(1{,}4)=0{,}336472,
\ln\!\left(\frac{r_3}{r_2}\right)=\ln(0{,}1025/0{,}0525)=\ln(1{,}95238095)=0{,}668198.
Esses valores vão entrar direto nas fórmulas de R.

Passo 4

Regra de interpolação linear para k(T) (método que usei para obter k de um certo valor de temperatura):
Se a tabela dá (T_a,k_a) e (T_b,k_b), e queremos k em T entre T_a e T_b, então
k(T)=k_a+\frac{k_b-k_a}{T_b-T_a}\,(T-T_a).
Vou usar essa fórmula para o amianto (tabela em 100^\circ\mathrm{C} e 200^\circ\mathrm{C}) e para a lã de vidro (valores em 38^\circ\mathrm{C} e 93^\circ\mathrm{C}). Se for necessário extrapolar um pouco (temperatura média maior que 93^\circ\mathrm{C}), usei a mesma regra linear para estender o comportamento (explico quando ocorrer).

Passo 5

Façamos a iteração. Inicialmente chuto uma temperatura de interface:
T_2^{(0)}=\frac{T_1+T_3}{2}=\frac{200+38}{2}=119^\circ\mathrm{C}.
Agora calculo as condutividades estimadas nas duas camadas usando médias de temperatura em cada camada:
  • Para o amianto: temperatura média aproximada \bar T_\text{amianto}=(T_1+T_2^{(0)})/2=(200+119)/2=159{,}5^\circ\mathrm{C}.
    Interpolação entre 100^\circ\mathrm{C}\to k=0{,}189 e 200^\circ\mathrm{C}\to k=0{,}204: k_\text{amianto}^{(0)}=0{,}189+\frac{0{,}204-0{,}189}{200-100}(159{,}5-100) =0{,}189+0{,}00015\cdot 59{,}5=0{,}189+0{,}008925=0{,}197925.
  • Para a lã: temperatura média aproximada \bar T_\text{lã}=(T_2^{(0)}+T_3)/2=(119+38)/2=78{,}5^\circ\mathrm{C}ã.
    Interpolação entre 38^\circ\mathrm{C}\to 0{,}041 e 93^\circ\mathrm{C}\to 0{,}054: k_\text{lã}^{(0)}=0{,}041+\frac{0{,}054-0{,}041}{93-38}(78{,}5-38) =0{,}041+0{,}00023636\cdot 40{,}5\approx0{,}05057.ã

Passo 6

Com esses k iniciais calculo as resistências:
R_\text{amianto}^{(0)}=\frac{\ln(r_2/r_1)}{2\pi k_\text{amianto}^{(0)}\cdot 1} =\frac{0{,}336472}{2\pi\cdot 0{,}197925} \approx\frac{0{,}336472}{1{,}24311}\approx0{,}2706\\ \mathrm{K/W}.
R_\text{lã}^{(0)}=\frac{\ln(r_3/r_2)}{2\pi k_\text{lã}^{(0)}\cdot 1} =\frac{0{,}668198}{2\pi\cdot 0{,}05057} \approx\frac{0{,}668198}{0{,}31782}\approx2{,}102\\ \mathrm{K/W}.ãã
Total:
R_\text{total}^{(0)}\approx0{,}2706+2{,}102\approx2{,}3726\\ \mathrm{K/W}.
Fluxo por metro:
q'^{(0)}=\frac{T_1-T_3}{R_\text{total}^{(0)}}=\frac{200-38}{2{,}3726}=\frac{162}{2{,}3726}\approx68{,}24\\ \mathrm{W/m}.
Então a nova estimativa de T_2 é:
T_2^{(1)}=T_1-q'^{(0)}R_\text{amianto}^{(0)}=200-68{,}24\cdot 0{,}2706\approx200-18{,}48=181{,}52^\circ\mathrm{C}.

Passo 7

Repetimos com T_2^{(1)}\approx 181{,}52^\circ\mathrm{C}.
Calcule as temperaturas médias:
\bar T_\text{amianto}^{(1)}=\frac{200+181{,}52}{2}=190{,}76^\circ\mathrm{C}, \qquad \bar T_\text{lã}^{(1)}=\frac{181{,}52+38}{2}=109{,}76^\circ\mathrm{C}.ã
Interpolação/extrapolação dos k:
  • Amianto: entre 100^\circ\mathrm{C} e 200^\circ\mathrm{C}:
k_\text{amianto}^{(1)}=0{,}189+0{,}00015\cdot(190{,}76-100)=0{,}189+0{,}013614\approx0{,}202614.
  • Lã: tabela vai até 93^\circ\mathrm{C}. Estamos em média \approx109{,}76^\circ\mathrm{C}, fiz extrapolação linear:
    slope \approx0{,}00023636 (mesmo coeficiente usado antes), delta 109{,}76-38=71{,}76:
k_\text{lã}^{(1)}=0{,}041+0{,}00023636\cdot 71{,}76\approx0{,}041+0{,}01696\approx0{,}05796.ã

Passo 8

Calcule as resistências com esses k:
R_\text{amianto}^{(1)}=\frac{0{,}336472}{2\pi\cdot 0{,}202614}\approx\frac{0{,}336472}{1{,}2726}\approx0{,}2644\\ \mathrm{K/W},
R_\text{lã}^{(1)}=\frac{0{,}668198}{2\pi\cdot 0{,}05796}\approx\frac{0{,}668198}{0{,}36429}\approx1{,}834\\ \mathrm{K/W}.ã
R_\text{total}^{(1)}\approx0{,}2644+1{,}834=2{,}0984\\ \mathrm{K/W}.
Fluxo:
q'^{(1)}=\frac{162}{2{,}0984}\approx77{,}23\\ \mathrm{W/m}.
Nova T_2:
T_2^{(2)}=200-77{,}23\cdot 0{,}2644\approx200-20{,}42=179{,}58^\circ\mathrm{C}.

Passo 9

Mais uma iteração para confirmar convergência usando T_2^{(2)}\approx179{,}58^\circ\mathrm{C}.
Médias:
\bar T_\text{amianto}^{(2)}=\frac{200+179{,}58}{2}=189{,}79^\circ\mathrm{C}, \qquad \bar T_\text{lã}^{(2)}=\frac{179{,}58+38}{2}=108{,}79^\circ\mathrm{C}.ã
Interpolando:
k_\text{amianto}^{(2)}=0{,}189+0{,}00015\cdot(189{,}79-100)=0{,}189+0{,}0134685\approx0{,}2024685.
k_\text{lã}^{(2)}=0{,}041+0{,}00023636\cdot(108{,}79-38)\approx0{,}041+0{,}01672\approx0{,}05772.ã
Resistências:
R_\text{amianto}^{(2)}=\frac{0{,}336472}{2\pi\cdot 0{,}2024685}\approx0{,}2645\\ \mathrm{K/W},
R_\text{lã}^{(2)}=\frac{0{,}668198}{2\pi\cdot 0{,}05772}\approx1{,}842\\ \mathrm{K/W},ã
R_\text{total}^{(2)}\approx2{,}1065\\ \mathrm{K/W}.
Fluxo:
q'^{(2)}=\frac{162}{2{,}1065}\approx76{,}89\\ \mathrm{W/m}.
Temperatura de interface:
T_2^{(3)}=200-76{,}89\cdot 0{,}2645\approx200-20{,}34=179{,}66^\circ\mathrm{C}.

Passo 10

A iteração já está praticamente convergida: T_2 variou de 179{,}58 para 179{,}66^\circ\mathrm{C} e o fluxo está próximo de 76{,}9\\ \mathrm{W/m}. Para reporte, tomo a solução convergida:
q'\approx 76{,}9\\ \mathrm{W/m},\qquad T_2\approx 179{,}66^\circ\mathrm{C}.
(Se desejar, podem-se fazer mais iterações; as variações serão da ordem de décimos de grau e décimos de W/m.)

Resposta

(a) q'\approx 76{,}9\\ \mathrm{W/m}
(b) T_2\approx 179{,}7^\circ\mathrm{C}

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