Formar ùma equação diferencial da família de curvas
(b) y=c 1 e^{3 x}+c 2 e^{-2 x}

Passo 1

O enunciado dá a família de curvas
y = c_{1}e^{3x} + c_{2}e^{-2x},
onde c_{1} e c_{2} são constantes arbitrárias. A pergunta é: formar a equação diferencial da família de curvas — isto é, encontrar uma equação diferencial envolvendo y e suas derivadas que não contenha os constantes c_{1} e c_{2}.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A família tem exatamente duas constantes arbitrárias ( c_{1} e c_{2}), logo esperamos uma equação diferencial de ordem 2.
  • A função é combinação linear de e^{3x} e e^{-2x}.

Passo 2

Ideia do método (explicação didática): quando uma família de curvas depende de n constantes arbitrárias, é possível obter uma equação diferencial de ordem n eliminando essas constantes. O procedimento prático é:
  1. Escrever y em função das constantes.
  2. Diferenciar y consecutivamente até ter n equações (aqui n=2 então precisamos de y e y' e/ou y'').
  3. Eliminar as constantes entre essas equações, obtendo uma relação só em termos de x, y, y', y'', … sem c_i.
Vou aplicar isso passo a passo. Observação útil: a derivada de e^{ax} é a e^{ax}. Sempre que aparecer uma exponencial, aplica-se essa regra.

Passo 3

Calcular a primeira derivada y'. Diferenciando termo a termo:
y = c_{1}e^{3x} + c_{2}e^{-2x}
\Rightarrow\quad y' = 3c_{1}e^{3x} - 2c_{2}e^{-2x}.
Expliquei: ao derivar c_{1}e^{3x} obtém-se 3c_{1}e^{3x} porque a derivada de e^{3x} é 3e^{3x}; ao derivar c_{2}e^{-2x} obtém-se -2c_{2}e^{-2x}.

Passo 4

Calcular a segunda derivada y''. Derivando y':
y' = 3c_{1}e^{3x} - 2c_{2}e^{-2x}
\Rightarrow\quad y'' = 9c_{1}e^{3x} + 4c_{2}e^{-2x}.
Expliquei: derivada de 3c_{1}e^{3x} é 9c_{1}e^{3x}; derivada de -2c_{2}e^{-2x} é 4c_{2}e^{-2x}.

Passo 5

Eliminação das constantes. Para eliminar c_{1} e c_{2} combinamos as expressões obtidas. Vou formar a combinação linear
y'' - y' - 6y
e verificar o que dá quando substituímos as expressões em termos de c_{1}e^{3x} e c_{2}e^{-2x}.
Substituindo:
y'' - y' - 6y = \bigl(9c_{1}e^{3x} + 4c_{2}e^{-2x}\bigr) - \bigl(3c_{1}e^{3x} - 2c_{2}e^{-2x}\bigr) - 6\bigl(c_{1}e^{3x} + c_{2}e^{-2x}\bigr).
Agora agrupo coeficientes de c_{1}e^{3x} e c_{2}e^{-2x}:
  • Coeficiente de c_{1}e^{3x}: 9 - 3 - 6 = 0.
  • Coeficiente de c_{2}e^{-2x}: 4 - (-2) - 6 = 4 + 2 - 6 = 0.
Portanto cada termo some e obtemos
y'' - y' - 6y = 0.
Explicação do porquê: ao escolher essa combinação linear estamos forçando a cancelamento das quantidades c_{1}e^{3x} e c_{2}e^{-2x}; o resultado é uma relação que não contém c_{1} nem c_{2}, justamente a equação diferencial procurada.

Passo 6

Interpretação e verificação alternativa (útil para a prova): a equação encontrada é
y'' - y' - 6y = 0.
Esta é uma equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes. A equação característica é
r^{2} - r - 6 = 0,
cujas raízes são r=3 e r=-2. A solução geral dessa equação característica é exatamente
y = C_{1}e^{3x} + C_{2}e^{-2x},
o que confirma que a equação diferencial encontrada é a correta para a família dada.

Resposta

y'' - y' - 6y = 0

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