Formar ùma equação diferencial da família de curvas
(b)
(b)
Passo 1
O enunciado dá a família de curvas
onde
e
são constantes arbitrárias. A pergunta é: formar a equação diferencial da família de curvas — isto é, encontrar uma equação diferencial envolvendo
e suas derivadas que não contenha os constantes
e
.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A família tem exatamente duas constantes arbitrárias (
e ), logo esperamos uma equação diferencial de ordem 2. - A função é combinação linear de
e .
Passo 2
Ideia do método (explicação didática): quando uma família de curvas depende de
constantes arbitrárias, é possível obter uma equação diferencial de ordem
eliminando essas constantes. O procedimento prático é:
- Escrever
em função das constantes. - Diferenciar
consecutivamente até ter equações (aqui então precisamos de e e/ou ). - Eliminar as constantes entre essas equações, obtendo uma relação só em termos de
, , , , … sem .
Vou aplicar isso passo a passo. Observação útil: a derivada de
é
. Sempre que aparecer uma exponencial, aplica-se essa regra.
Passo 3
Calcular a primeira derivada
. Diferenciando termo a termo:
Expliquei: ao derivar
obtém-se
porque a derivada de
é
; ao derivar
obtém-se
.
Passo 4
Calcular a segunda derivada
. Derivando
:
Expliquei: derivada de
é
; derivada de
é
.
Passo 5
Eliminação das constantes. Para eliminar
e
combinamos as expressões obtidas. Vou formar a combinação linear
e verificar o que dá quando substituímos as expressões em termos de
e
.
Substituindo:
Agora agrupo coeficientes de
e
:
- Coeficiente de
: . - Coeficiente de
: .
Portanto cada termo some e obtemos
Explicação do porquê: ao escolher essa combinação linear estamos forçando a cancelamento das quantidades
e
; o resultado é uma relação que não contém
nem
, justamente a equação diferencial procurada.
Passo 6
Interpretação e verificação alternativa (útil para a prova): a equação encontrada é
Esta é uma equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes. A equação característica é
cujas raízes são
e
. A solução geral dessa equação característica é exatamente
o que confirma que a equação diferencial encontrada é a correta para a família dada.