Uma das aplicações da integral dupla, ocorre na Estatística. A função
é denominada função densidade de probabilidade se satisfaz as condições:
i)
;
ii)
Para entendermos a função densidade de probabilidade conjunta precisaremos definir uma integrar imprópria sobre todo o plano
.
onde
é o disco com raio
e centro na origem.
Mostre que
i)
ii)
Para entendermos a função densidade de probabilidade conjunta precisaremos definir uma integrar imprópria sobre todo o plano
Mostre que
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para mostrar que a integral dupla da função $ e{-(x2 + y^2)} $ sobre todo o plano
é igual a
. Vamos precisar usar o conceito de integrais duplas e, para facilitar, vamos mudar para coordenadas polares, que são super úteis quando temos funções com simetria circular como essa.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma integral dupla. É uma forma de somar os valores de uma função em todas as direções de um plano. No nosso caso, a função é $ e{-(x2 + y^2)} $. Mas integrar isso em coordenadas cartesianas (x e y) pode ser complicado, então vamos mudar para coordenadas polares, onde $ x = r \cos\theta $ e $ y = r \sin\theta $.
Passo 3
Ao mudar para coordenadas polares, precisamos também mudar o elemento de área $ dA $. Em coordenadas polares, $ dA = r , dr , d\theta $. Isso nos ajuda a simplificar a integral porque a função $ e{-(x2 + y^2)} $ se transforma em $ e{-r2} $.
Passo 4
Agora, vamos reescrever a integral dupla em coordenadas polares:
Primeiro, integramos em relação a $ r $ e depois em relação a $ \theta $.
Passo 5
Vamos resolver a integral interna:
Fazendo a substituição $ u = r^2 $, então $ du = 2r , dr $ ou $ \frac{du}{2} = r , dr $. A integral fica:
Passo 6
Agora, substituímos o resultado da integral interna na integral externa:
Resposta
Portanto, mostramos que