Uma das aplicações da integral dupla, ocorre na Estatística. A função f é denominada função densidade de probabilidade se satisfaz as condições:
i) f(x) >= 0;
ii) integral-infty^infty f(x) d x=1
Para entendermos a função densidade de probabilidade conjunta precisaremos definir uma integrar imprópria sobre todo o plano R^2.
I=integral duplaR^2 e^-(x^2+y^2) d A=integral-infty^infty integral-infty^infty e^-(x^2+y^2) d y d x=lim a +infty integral duplaDa e^-(x^2+y^2) d A
onde Da é o disco com raio a e centro na origem.
Mostre que
integral-infty^infty integral-infty^infty e^-(x^2+y^2) d A=pi

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para mostrar que a integral dupla da função $ e{-(x2 + y^2)} $ sobre todo o plano e^-(x^2 + y^2) é igual a R^2. Vamos precisar usar o conceito de integrais duplas e, para facilitar, vamos mudar para coordenadas polares, que são super úteis quando temos funções com simetria circular como essa.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma integral dupla. É uma forma de somar os valores de uma função em todas as direções de um plano. No nosso caso, a função é $ e{-(x2 + y^2)} $. Mas integrar isso em coordenadas cartesianas (x e y) pode ser complicado, então vamos mudar para coordenadas polares, onde $ x = r \cos\theta $ e $ y = r \sin\theta $.

Passo 3

Ao mudar para coordenadas polares, precisamos também mudar o elemento de área $ dA $. Em coordenadas polares, $ dA = r , dr , d\theta $. Isso nos ajuda a simplificar a integral porque a função $ e{-(x2 + y^2)} $ se transforma em $ e{-r2} $.

Passo 4

Agora, vamos reescrever a integral dupla em coordenadas polares:
I = integral0^2pi integral0^infty e^-r^2 cdot r , dr , dtheta
Primeiro, integramos em relação a $ r $ e depois em relação a $ \theta $.

Passo 5

Vamos resolver a integral interna:
integral0^infty e^-r^2 cdot r , dr
Fazendo a substituição $ u = r^2 $, então $ du = 2r , dr $ ou $ \frac{du}{2} = r , dr $. A integral fica:
u = r^2

Passo 6

Agora, substituímos o resultado da integral interna na integral externa:
I = integral0^2pi 12 , dtheta = 12 cdot [ theta ]0^2pi = 12 cdot (2pi - 0) = pi

Resposta

Portanto, mostramos que
integral-infty^infty integral-infty^infty e^-(x^2+y^2) dA = pi

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