Calcule o seguinte limite:
lim x 1 x^4-2 x^3+2 x-1x^3-3 x+2;

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite limxto1x^4-2x^3+2x-1x^3-3x+2. O conteúdo envolve limites de funções racionais, indeterminação do tipo 0/0 e fatoração de polinômios para simplificar a expressão.

Passo 2

Primeiro tentamos a substituição direta: numerador em x=1 1-2+2-1=0 e denominador dá 1-3+2=0. Temos uma forma indeterminada 0/0, então precisamos fatorar para simplificar ou usar l’Hôpital.

Passo 3

Vamos fatorar o denominador:
x^3-3x+2 =(x-1)(x^2+x-2) =(x-1)(x-1)(x+2) =(x-1)^2(x+2)

Passo 4

Agora fatoramos o numerador. Fazendo divisão sintética por x-1 e agrupamentos, chegamos a:
x^4-2x^3+2x-1=(x-1)l(x^3-x^2-x+1r) =(x-1)(x-1)(x^2-1) =(x-1)^2(x-1)(x+1) =(x-1)^3(x+1)

Passo 5

Substituindo as fatorações na fração original temos:
x^4-2x^3+2x-1x^3-3x+2 =(x-1)^3(x+1)(x-1)^2(x+2) =(x-1)(x+1)x+2

Passo 6

Agora calculamos o limite da expressão simplificada quando xto1:
limxto1(x-1)(x+1)x+2 =(1-1)(1+1)1+2 =0cdot23 =0

Resposta

0

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