Uma das aplicações da integral dupla, ocorre na Estatística. A função
é denominada função densidade de probabilidade se satisfaz as condições:
i)
;
ii)
Para entendermos a função densidade de probabilidade conjunta precisaremos definir uma integrar imprópria sobre todo o plano
.
onde
é o disco com raio
e centro na origem.
Utilize o item © para calcular a integral
i)
ii)
Para entendermos a função densidade de probabilidade conjunta precisaremos definir uma integrar imprópria sobre todo o plano
Utilize o item © para calcular a integral
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício que envolve integrais duplas aplicadas na Estatística, especificamente na função densidade de probabilidade conjunta. A pergunta pede para calcular a integral
. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo integral, como substituição e propriedades das integrais de funções exponenciais.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a integral que precisamos calcular:
. Essa é uma integral imprópria porque o limite superior é infinito. Para resolver, vamos fazer uma substituição que simplifique a expressão.
Passo 3
Vamos fazer a substituição
. Assim, derivando ambos os lados em relação a
, temos
, ou seja,
. Precisamos ajustar a integral para termos
em termos de
.
Passo 4
Observe que na nossa integral original temos
e
. Com a substituição
, a integral fica:
Mas como
, temos
, então:
Então, a integral agora é:
Passo 5
Perceba que
, então a integral se torna:
Essa é uma forma da função gama, definida por:
Comparando, temos
, ou seja,
.
Passo 6
Sabemos que
. Assim, substituindo na nossa integral:
Resposta
Então, o valor da integral é
.