Uma das aplicações da integral dupla, ocorre na Estatística. A função f é denominada função densidade de probabilidade se satisfaz as condições:
i) f(x) >= 0;
ii) integral-infty^infty f(x) d x=1
Para entendermos a função densidade de probabilidade conjunta precisaremos definir uma integrar imprópria sobre todo o plano R^2.
I=integral duplaR^2 e^-(x^2+y^2) d A=integral-infty^infty integral-infty^infty e^-(x^2+y^2) d y d x=lim a +infty integral duplaDa e^-(x^2+y^2) d A
onde Da é o disco com raio a e centro na origem.
Utilize o item © para calcular a integral
integral0^infty x^2 e^-x^2 d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício que envolve integrais duplas aplicadas na Estatística, especificamente na função densidade de probabilidade conjunta. A pergunta pede para calcular a integral integral0^infty x^2 e^-x^2 dx. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo integral, como substituição e propriedades das integrais de funções exponenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a integral que precisamos calcular: integral0^infty x^2 e^-x^2 dx. Essa é uma integral imprópria porque o limite superior é infinito. Para resolver, vamos fazer uma substituição que simplifique a expressão.

Passo 3

Vamos fazer a substituição u = x^2. Assim, derivando ambos os lados em relação a x, temos du = 2x dx, ou seja, x dx = du2. Precisamos ajustar a integral para termos du em termos de u.

Passo 4

Observe que na nossa integral original temos x^2 e e^-x^2. Com a substituição u = x^2, a integral fica:
integral0^infty x^2 e^-x^2 dx = integral0^infty u e^-u cdot du2x
Mas como u = x^2, temos x = raizu, então:
12x = 12raizu
Então, a integral agora é:
12 integral0^infty raizu cdot e^-u du

Passo 5

Perceba que raizu = u^1/2, então a integral se torna:
12 integral0^infty u^1/2 e^-u du
Essa é uma forma da função gama, definida por:
Gamma(n) = integral0^infty u^n-1 e^-u du
Comparando, temos n - 1 = 12, ou seja, n = 32.

Passo 6

Sabemos que Gamma(32) = raizpi2. Assim, substituindo na nossa integral:
12 cdot Gamma(32) = 12 cdot raizpi2 = raizpi4

Resposta

Então, o valor da integral é raizpi4.

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