Calcule o seguinte limite:
;
Passo 1
O problema pede para calcular o limite quando
da expressão envolvendo
; vamos usar expansão em série de Taylor para funções trigonométricas.
Passo 2
A série de Taylor de
em torno de zero, até termos de ordem
, é:
$$\sin(2x)=2x-\frac{(2x)3}{6}+\frac{(2x)5}{120}+O(x^7)
=2x-\frac{4}{3}x3+\frac{4}{15}x5+O(x^7)
\sin(2x)-2x+x^2
=\bigl(2x-\tfrac{4}{3}x3+O(x5)\bigr)-2x+x^2
=x2-\tfrac{4}{3}x3+O(x^5)$$
Fatorando
em cima e embaixo, a fração vira:
$$\frac{x2\bigl(1-\tfrac{4}{3}x+O(x3)\bigr)}{x2\bigl(-1-\tfrac{4}{3}x+O(x3)\bigr)}
=\frac{1-\tfrac{4}{3}x+O(x3)}{-1-\tfrac{4}{3}x+O(x3)}$$
Quando , os termos lineares e superiores somem, sobrando apenas o quociente de 1 por -1, ou seja -1.
Quando
Resposta
-1