Calcule o seguinte limite:
lim x 0 sen(2 x)-2 x+x^2sen(2 x)-2 x-x^2;

Passo 1

O problema pede para calcular o limite quando xto0 da expressão envolvendo sin(2x); vamos usar expansão em série de Taylor para funções trigonométricas.

Passo 2

A série de Taylor de sin(2x) em torno de zero, até termos de ordem x^5, é:
$$\sin(2x)=2x-\frac{(2x)3}{6}+\frac{(2x)5}{120}+O(x^7)
=2x-\frac{4}{3}x3+\frac{4}{15}x5+O(x^7) sin(2x)=2x-(2x)^36+(2x)^5120+O(x^7) =2x-43x^3+415x^5+O(x^7)íã\sin(2x)-2x+x^2
=\bigl(2x-\tfrac{4}{3}x3+O(x5)\bigr)-2x+x^2
=x2-\tfrac{4}{3}x3+O(x^5)$$
sin(2x)-2x+x^2 =l(2x-tfrac43x^3+O(x^5)r)-2x+x^2 =x^2-tfrac43x^3+O(x^5)
Fatorando sin(2x)-2x-x^2 =l(2x-tfrac43x^3+O(x^5)r)-2x-x^2 =-x^2-tfrac43x^3+O(x^5) em cima e embaixo, a fração vira:
$$\frac{x2\bigl(1-\tfrac{4}{3}x+O(x3)\bigr)}{x2\bigl(-1-\tfrac{4}{3}x+O(x3)\bigr)}
=\frac{1-\tfrac{4}{3}x+O(x3)}{-1-\tfrac{4}{3}x+O(x3)}$$
Quando x^2, os termos lineares e superiores somem, sobrando apenas o quociente de 1 por -1, ou seja -1.

Resposta

-1

Exercícios relacionados