Determine as soluções das equações diferenciais de variáveis separáveis abaixo:
(g) y^{\prime}=\operatorname{sec} ^{2} x \operatorname{sec} ^{3} y

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial de variáveis separáveis
y' = \operatorname{sec}^2 x \,\operatorname{sec}^3 y
e pede a solução geral. Vamos separar as variáveis x e y e integrar ambos os lados.

Passo 2

Escrevendo y' = \frac{dy}{dx} e separando variáveis, obtemos
\frac{dy}{\operatorname{sec}^3 y} = \operatorname{sec}^2 x \,dx
e como \frac{1}{\operatorname{sec}^3 y} = \cos^3 y, fica
\int \cos^3 y\,dy = \int \operatorname{sec}^2 x\,dx.

Passo 3

Para integrar \displaystyle \int \cos^3 y\,dy, use \cos^2 y = 1 - \sin^2 y e a substituição u = \sin y, du = \cos y\,dy. Então
\int \cos^3 y\,dy = \int \cos y\,(1 - \sin^2 y)\,dy = \int (1 - u^2)\,du = u - \frac{u^3}{3} + C = \sin y - \frac{\sin^3 y}{3} + C.

Passo 4

A integral do lado direito é direta, pois
\int \operatorname{sec}^2 x\,dx = \tan x + C'.

Passo 5

Igualando as duas integrais (absorvendo constantes em uma só C), temos a solução implícita
\sin y - \frac{\sin^3 y}{3} = \tan x + C.

Resposta

\displaystyle \sin y - \frac{\sin^3 y}{3} = \tan x + C

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