Determine as soluções das equações diferenciais de variáveis separáveis abaixo:
§
’
§
Passo 1
O enunciado pede a solução da equação diferencial de variáveis separáveis
.
O conteúdo principal é separação de variáveis e integração de funções trigonométricas.
O conteúdo principal é separação de variáveis e integração de funções trigonométricas.
Passo 2
Reescrevemos
e separamos as variáveis:
Aqui usamos que
e, em breve, que
.
Passo 3
Integramos ambos os lados:
Passo 4
Na esquerda, como
, temos
Passo 5
Na direita, usando
:
Passo 6
Igualando as duas integrais e incluindo a constante de integração
:
Multiplicando tudo por 2 e renomeando
, obtemos
Passo 7
Para isolar
, aplicamos
e lembramos que a tangente é periódica de período
:
Daí
Resposta
ou equivalentemente