Determine as soluções das equações diferenciais de variáveis separáveis abaixo:
§ y^{\prime}=\left(\cos ^{2} x\right)\left(\cos ^{2} 2 y\right)

Passo 1

O enunciado pede a solução da equação diferencial de variáveis separáveis \displaystyle y' = (\cos^2 x)\,(\cos^2 2y).
O conteúdo principal é separação de variáveis e integração de funções trigonométricas.

Passo 2

Reescrevemos y'=\frac{dy}{dx} e separamos as variáveis:
\frac{dy}{\cos^2(2y)} \;=\;\cos^2 x\,dx.
Aqui usamos que \frac{1}{\cos^2(2y)}=\operatorname{sec}^2(2y) e, em breve, que \cos^2 x=\tfrac{1+\cos2x}{2}.

Passo 3

Integramos ambos os lados:
\int \operatorname{sec}^2(2y)\,dy \;=\;\int \frac{1+\cos2x}{2}\,dx.

Passo 4

Na esquerda, como \tfrac{d}{dy}\tan(2y)=2\operatorname{sec}^2(2y), temos
\int \operatorname{sec}^2(2y)\,dy = \tfrac12\,\tan(2y).

Passo 5

Na direita, usando \cos^2 x=\tfrac{1+\cos2x}{2}:
\int \frac{1+\cos2x}{2}\,dx = \frac12\int 1\,dx \;+\;\frac12\int \cos2x\,dx = \frac{x}{2} + \frac{\sin2x}{4}.

Passo 6

Igualando as duas integrais e incluindo a constante de integração C:
\frac12\,\tan(2y) = \frac{x}{2} + \frac{\sin2x}{4} + C.
Multiplicando tudo por 2 e renomeando C_1=2C, obtemos
\tan(2y) = x + \frac{\sin2x}{2} + C_1.

Passo 7

Para isolar y, aplicamos \arctan e lembramos que a tangente é periódica de período \pi:
2y = \arctan\!\Bigl(x + \tfrac{\sin2x}{2} + C_1\Bigr) + n\pi, \quad n\in\mathbb{Z}.
Daí
y = \frac12\,\arctan\!\Bigl(x + \tfrac{\sin2x}{2} + C_1\Bigr) + \frac{n\pi}{2},\quad n\in\mathbb{Z}.

Resposta

\tan(2y) = x + \frac{\sin2x}{2} + C,\quad C\in\mathbb{R},
ou equivalentemente
y = \frac12\,\arctan\!\Bigl(x + \tfrac{\sin2x}{2} + C\Bigr) + \frac{n\pi}{2},\quad n\in\mathbb{Z}.

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