Aplicações da Transformada de Laplace na solução das EDOs.
Resolver
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Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial usando a Transformada de Laplace. A equação que temos é $ y’’ + 4y = 9t’ $ com as condições iniciais $ y(0) = 0 $ e $ y’(0) = 7 $. Para isso, vamos precisar aplicar a Transformada de Laplace aos dois lados da equação e utilizar algumas propriedades básicas dessa ferramenta matemática.
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar a Transformada de Laplace em ambos os lados da equação. Lembrando que a Transformada de Laplace de $ y’’ $ é $ s^2 Y(s) - s y(0) - y’(0) $ e de $ y $ é simplesmente $ Y(s) $. Além disso, a Transformada de $ t’ $ é a derivada de $ t $, que é 1, então $ \mathcal{L}{t’} = \mathcal{L}{1} = \frac{1}{s} $.
Aplicando a transformada:
Substituindo:
Passo 3
Simplificando a expressão, já que $ y(0) = 0 $:
Vamos juntar os termos com $ Y(s) $:
Passo 4
Agora, isolamos $ Y(s) $:
Para facilitar a inversão da transformada, vamos escrever 7 como $ \frac{7s}{s} $:
Passo 5
Vamos decompor a fração em frações parciais. Queremos escrever:
Multiplicando ambos os lados por $ s(s^2 + 4) $:
Expandindo:
Agrupando termos semelhantes:
Passo 6
Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes:
Resolvendo o sistema:
Passo 7
Substituímos os valores de $ A $, $ B $ e $ C $ na decomposição das frações parciais:
Podemos separar as frações:
Passo 8
Agora, aplicamos a Transformada de Laplace inversa em cada termo:
Aplicando isso:
Resposta
A solução da equação diferencial é: