Aplicações da Transformada de Laplace na solução das EDOs.
Resolver y^prime prime+4 y=9 t^prime, y(0)=0, y^prime(0)=7

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial usando a Transformada de Laplace. A equação que temos é $ y’’ + 4y = 9t’ $ com as condições iniciais $ y(0) = 0 $ e $ y’(0) = 7 $. Para isso, vamos precisar aplicar a Transformada de Laplace aos dois lados da equação e utilizar algumas propriedades básicas dessa ferramenta matemática.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar a Transformada de Laplace em ambos os lados da equação. Lembrando que a Transformada de Laplace de $ y’’ $ é $ s^2 Y(s) - s y(0) - y’(0) $ e de $ y $ é simplesmente $ Y(s) $. Além disso, a Transformada de $ t’ $ é a derivada de $ t $, que é 1, então $ \mathcal{L}{t’} = \mathcal{L}{1} = \frac{1}{s} $.
Aplicando a transformada:
y''
Substituindo:
s^2 Y(s) - s y(0) - y'(0)

Passo 3

Simplificando a expressão, já que $ y(0) = 0 $:
y(0) = 0
Vamos juntar os termos com $ Y(s) $:
s^2 Y(s) - 7 + 4Y(s) = 9s

Passo 4

Agora, isolamos $ Y(s) $:
Y(s)
Para facilitar a inversão da transformada, vamos escrever 7 como $ \frac{7s}{s} $:
Y(s) = 9s + 7s^2 + 4

Passo 5

Vamos decompor a fração em frações parciais. Queremos escrever:
9 + 7ss(s^2 + 4) = As + Bs + Cs^2 + 4
Multiplicando ambos os lados por $ s(s^2 + 4) $:
s(s^2 + 4)
Expandindo:
9 + 7s = A(s^2 + 4) + (Bs + C)s
Agrupando termos semelhantes:
9 + 7s = A s^2 + 4A + Bs^2 + Cs

Passo 6

Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes:
A + B = 0 C = 7 4A = 9
Resolvendo o sistema:
A = 94, B = -94, C = 7

Passo 7

Substituímos os valores de $ A $, $ B $ e $ C $ na decomposição das frações parciais:
A
Podemos separar as frações:
B

Passo 8

Agora, aplicamos a Transformada de Laplace inversa em cada termo:
L^-11s = 1
L^-1ss^2 + 4 = cos(2t)
L^-11s^2 + 4 = 12sin(2t)
Aplicando isso:
y(t) = 94 cdot 1 - 94 cos(2t) + 72 sin(2t)

Resposta

A solução da equação diferencial é:
y(t) = 94 - 94 cos(2t) + 72 sin(2t)

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