Determine raio de convergência e o intervalo de convergência.
Passo 1
No enunciado temos a série
É uma série de potências em torno de . Para resolver, vamos tratar como série geométrica e usar a condição de convergência de uma soma geométrica.
Passo 2
Escrevemos a série na forma de uma soma geométrica:
Aqui o termo geral é .
Passo 3
Para convergência de uma série geométrica é necessário
Como (2x-3)^2>=0, isso equivale a
(2x-3)^216<1
ou
(2x-3)^2<16 .
Passo 4
Resolvendo
(2x-3)^2<16
obtemos
-4<2x-3<4
que dá
-0,5
Ou seja, o centro é 3/2 e o raio de convergência em x é
R=2 .
Passo 5
Agora verificamos os extremos:
Para x=-0,5 ou x=3,5 temos (2x-3)^2/16=1, e a série geométrica com razão 1 diverge. Portanto, os extremos não entram no intervalo.
Passo 6
A conclusão é que a série converge apenas quando
-0,5.
Resposta
Raio de convergência R=2. Intervalo de convergência: xinl(-tfrac12,tfrac72r).