Determine o raio de convergência e o intervalo de convergência.
sumk=0^+infty (2 x-3)^2 k4^2 k

Passo 1

No enunciado temos a série
sumk=0^infty (2x-3)^2k4^2k
É uma série de potências em torno de x=3/2. Para resolver, vamos tratar como série geométrica e usar a condição de convergência de uma soma geométrica.

Passo 2

Escrevemos a série na forma de uma soma geométrica:
sumk=0^infty((2x-3)^216)^k
Aqui o termo geral é ak=l((2x-3)^2/16r)^k.

Passo 3

Para convergência de uma série geométrica é necessário
|(2x-3)^216|<1
Como (2x-3)^2>=0, isso equivale a
(2x-3)^216<1
ou
(2x-3)^2<16 .

Passo 4

Resolvendo
(2x-3)^2<16
obtemos
-4<2x-3<4
que dá
-0,5
Ou seja, o centro é 3/2 e o raio de convergência em x é
R=2 .

Passo 5

Agora verificamos os extremos:
Para x=-0,5 ou x=3,5 temos
(2x-3)^2/16=1, e a série geométrica com razão 1 diverge. Portanto, os extremos não entram no intervalo.

Passo 6

A conclusão é que a série converge apenas quando
-0,5.

Resposta

Raio de convergência R=2. Intervalo de convergência: xinl(-tfrac12,tfrac72r).

Exercícios relacionados