Determine o intervalo de convergência da série e encontre uma função conhecida que seja representada pela série de potências naquele intervalo.
1-(x+3)+(x+3)^2-(x+3)^3
+cdots+(-1)^k(x+3)^k+cdots

Passo 1

O enunciado pede para achar o intervalo onde a série de potências\n\n\n\n\n\n\n```latex
\n1 - (x+3) + (x+3)^2 - (x+3)^3 + \cdots + (-1)k(x+3)k + \cdots

Passo 2

Note que cada termo da série é (-1)^k(x+3)^k, ou seja, podemos reescrever sua razão como
r = -(x+3)
Isso mostra que a série é geométrica de primeiro termo a=1 e razão r=-(x+3).

Passo 3

Para convergência da série geométrica precisamos de
lvert rrvert = lvert -(x+3)rvert = lvert x+3rvert < 1
Isso implica
-1 < x+3 < 1
ou seja
-4 < x < -2

Passo 4

Dentro desse intervalo, a soma da série geométrica é
sumk=0^infty r^k = 11-r
substituindo r = -(x+3), obtemos
11 - [-(x+3)] = 11 + x + 3 = 1x+4

Resposta

Intervalo de convergência: (-4, -2). Função representada: f(x)=dfrac1x+4.

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