Determine o intervalo de convergência da série e encontre uma função conhecida que seja representada pela série de potências naquele intervalo.
Passo 1
O enunciado pede para achar o intervalo onde a série de potências\n\n\n\n\n\n\n```latex
\n1 - (x+3) + (x+3)^2 - (x+3)^3 + \cdots + (-1)k(x+3)k + \cdots
\n1 - (x+3) + (x+3)^2 - (x+3)^3 + \cdots + (-1)k(x+3)k + \cdots
Passo 2
Note que cada termo da série é
, ou seja, podemos reescrever sua razão como
Isso mostra que a série é geométrica de primeiro termo
e razão
.
Passo 3
Para convergência da série geométrica precisamos de
Isso implica
ou seja
Passo 4
Dentro desse intervalo, a soma da série geométrica é
substituindo
, obtemos
Resposta
Intervalo de convergência:
. Função representada:
.