Use a notação de somatório para escrever a série de Taylor em torno de
para a função dada.
Passo 1
O enunciado pede a série de Taylor de f(x)=1/(x+2) em torno de x₀=3, ou seja, queremos escrever f(x) como uma soma infinita em potências de (x–3) usando notação de somatório.
Passo 2
Para facilitar a expansão, definimos h = x – 3. Então x = 3 + h e f(x) fica
Passo 3
A teoria da série geométrica diz que, para |t|<1,
Passo 4
Aqui escolhemos t = \frac{h}{5}. Substituindo na expansão geométrica, temos
Passo 5
Multiplicando por 1/5 e voltando a variável x (h = x–3), obtemos a série de Taylor em torno de x₀ = 3: