Use a notação de somatório para escrever a série de Taylor em torno de x=x0 para a função dada.
1x+2 ; x0=3

Passo 1

O enunciado pede a série de Taylor de f(x)=1/(x+2) em torno de x₀=3, ou seja, queremos escrever f(x) como uma soma infinita em potências de (x–3) usando notação de somatório.

Passo 2

Para facilitar a expansão, definimos h = x – 3. Então x = 3 + h e f(x) fica
f(x) = 1(3+h)+2 = 15+h = 15cdot11 + h5

Passo 3

A teoria da série geométrica diz que, para |t|<1,
11 + t = sumn=0^infty (-1)^n ,t^n

Passo 4

Aqui escolhemos t = \frac{h}{5}. Substituindo na expansão geométrica, temos
11 + h5 = sumn=0^infty (-1)^n l(h5r)^n = sumn=0^infty (-1)^n h^n5^n

Passo 5

Multiplicando por 1/5 e voltando a variável x (h = x–3), obtemos a série de Taylor em torno de x₀ = 3:

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