Quando aplicamos 115 V aos extremos de um fio de comprimento 9,66 \mathrm{~m}, a densidade de corrente é 1,42 \mathrm{~A} / \mathrm{cm}^{2}. Determine a condutividade do material do fio. R: 1,193 \times 10^{3}(\Omega . \mathrm{m})^{-1}
8) Um bloco com formato de paralelepípedo tem área de seção reta de 3,50 \mathrm{~cm}^{2} e comprimento de 15,8 \mathrm{~cm}, sendo sua resistência de 935 \Omega. Existem 5,33 \times 10^{22} elétrons de condução/m³ no material de que o bloco é feito. Uma ddp de 35,8 \mathrm{~V} é mantida entre as duas faces menores. Determine: a) a corrente no bloco; b) a densidade de corrente, supondo a mesma uniforme;
c) a velocidade de arraste dos elétrons de condução;
d) o campo elétrico no interior do bloco. R: a) 3,83 \times 10^{-2} \mathrm{~A}; b) 1,09 \times 10^{+2}; c) 1,283 \times 10^{-2} \mathrm{~m} / \mathrm{s}; d) 226,6 \mathrm{~V} / \mathrm{m}.

Passo 1

Vou identificar com calma o que cada problema pede e anotar todos os dados fornecidos.
Primeiro problema (condutividade do fio):
  • Dados:
    \,V=115\\ \mathrm{V}
    \,L=9,66\\ \mathrm{m}
    \, \text{densidade de corrente } j=1,42\\ \mathrm{A/cm^{2}}
  • Pedido: determinar a condutividade do material do fio (ou seja \sigma).
Segundo problema (bloco paralelepípedo) — enunciado 8:
  • Dados:
    \,A=3,50\\ \mathrm{cm^{2}} (área da seção)
    \,L=15,8\\ \mathrm{cm} (comprimento)
    \,R=935\\ \Omega
    \,n=5,33\times10^{22}\\ \text{elétrons/m}^{3}é
    \,\Delta V=35,8\\ \mathrm{V} (ddp entre faces menores)
  • Pedidos:
    a) a corrente no bloco ( I);
    b) a densidade de corrente, supondo uniforme ( j);
    c) a velocidade de arraste dos elétrons de condução ( v_{d});
    d) o campo elétrico no interior do bloco ( E).

Passo 2

Conceitos e fórmulas fundamentais — explico devagar e com exemplos para você entender e poder usar na prova.
  1. Relação entre campo elétrico e diferença de potencial:
E=\frac{\Delta V}{L}
Aqui \,E é o campo elétrico (em \mathrm{V/m}), \,\Delta V é a ddp entre os extremos (em \mathrm{V}) e \,L é o comprimento entre esses extremos (em \mathrm{m}). Esse é um conceito direto: campo = queda de potencial por unidade de comprimento.
  1. Densidade de corrente e corrente:
j=\frac{I}{A}
Aqui \,j é a densidade de corrente (em \mathrm{A/m^{2}}), \,I é a corrente (em \mathrm{A}) e \,A é a área da seção transversal (em \mathrm{m^{2}}). É só a corrente dividida pela área.
  1. Lei local de Ohm (definição de condutividade \sigma):
\mathbf{J}=\sigma\mathbf{E}
Em módulo, para casos uniformes,
j=\sigma E.
Aqui \sigma (em (\Omega\cdot\mathrm{m})^{-1}) é a condutividade do material. Se você conhece j e E, obtém \sigma por \sigma=j/E.
  1. Velocidade de arraste (drift velocity):
j=n\,q\,v_{d}
Aqui \,n é a densidade de elétrons de condução ( \text{elétrons/m}^{3}é), \,q é a carga elementar (módulo) dos elétrons \,q=e=1,602\times10^{-19}\\ \mathrm{C} e \,v_{d} é a velocidade de arraste (mód/s). Essa fórmula vem da ideia de que cada elétron carrega carga q e, viajando em média com velocidade v_{d}, transporta carga através da seção.
Obs.: atenção às unidades: muitas quantidades do enunciado estão em centímetros; antes de aplicar fórmulas, convertemos para SI ( \mathrm{m}, \mathrm{m^{2}}, \mathrm{A/m^{2}}).

Passo 3

Resolvendo o primeiro problema (condutividade do fio), passo a passo.
  1. Converter a densidade de corrente de \mathrm{A/cm^{2}} para \mathrm{A/m^{2}}. Lembre que 1\\ \mathrm{cm^{2}}=10^{-4}\\ \mathrm{m^{2}}, então 1\\ \mathrm{A/cm^{2}}=10^{4}\\ \mathrm{A/m^{2}}.
j = 1,42\\ \mathrm{A/cm^{2}} = 1,42\times10^{4}\\ \mathrm{A/m^{2}}.
  1. Calcular o campo elétrico no fio usando \,E=\Delta V/L.
E=\frac{115}{9,66}\\ \mathrm{V/m}\approx 11,91\\ \mathrm{V/m}.
  1. Usar a relação \,j=\sigma E para obter \sigma.
\sigma=\frac{j}{E}=\frac{1,42\times10^{4}}{11,91}\\ \left(\Omega\cdot\mathrm{m}\right)^{-1}.
Fazendo a divisão:
\sigma\approx 1,193\times10^{3}\\ \left(\Omega\cdot\mathrm{m}\right)^{-1}.
Pronto — chegamos ao valor pedido (confere com a resposta fornecida).

Passo 4

Agora resolvemos o problema 8, parte (a) a (d), com explicações em cada etapa.
Dados convertidos para SI:
  • Área:
A=3,50\\ \mathrm{cm^{2}}=3,50\times10^{-4}\\ \mathrm{m^{2}}.
  • Comprimento:
L=15,8\\ \mathrm{cm}=0,158\\ \mathrm{m}.
  • Densidade de elétrons:
n=5,33\times10^{22}\\ \mathrm{m^{-3}}.
  • ddp:
\Delta V=35,8\\ \mathrm{V}.
  • Resistência:
R=935\\ \Omega.

Passo 5

(a) Corrente no bloco.
Podemos usar direto a lei de Ohm para o circuito do bloco (pois nos deram R e \Delta V):
I=\frac{\Delta V}{R}=\frac{35,8}{935}\\ \mathrm{A}.
Calculando:
I\approx 3,83\times10^{-2}\\ \mathrm{A}.

Passo 6

(b) Densidade de corrente uniforme \,j.
Usamos \,j=I/A.
j=\frac{3,83\times10^{-2}}{3,50\times10^{-4}}\\ \mathrm{A/m^{2}}.
Fazendo a conta:
j\approx 1,09\times10^{2}\\ \mathrm{A/m^{2}}.

Passo 7

(c) Velocidade de arraste dos elétrons \,v_{d}.
Usamos a fórmula \,j=n\,q\,v_{d}. Tomamos q=e=1,602\times10^{-19}\\ \mathrm{C} (módulo da carga do elétron).
Isolando v_{d}:
v_{d}=\frac{j}{n\,e}.
Substituindo j, n e e:
v_{d}=\frac{1,09\times10^{2}}{(5,33\times10^{22})(1,602\times10^{-19})}\\ \mathrm{m/s}.
Calculemos o denominador primeiro:
n\,e=(5,33\times10^{22})(1,602\times10^{-19})\approx 8,54\times10^{3}\\ \mathrm{C/m^{3}}.
Agora a divisão:
v_{d}\approx \frac{1,09\times10^{2}}{8,54\times10^{3}}\\ \mathrm{m/s}\approx 1,28\times10^{-2}\\ \mathrm{m/s}.
(ou seja aproximadamente \,1,283\times10^{-2}\\ \mathrm{m/s}, conforme a resposta indicada).

Passo 8

(d) Campo elétrico no interior do bloco.
Usamos \,E=\Delta V/L.
E=\frac{35,8}{0,158}\\ \mathrm{V/m}\approx 226,6\\ \mathrm{V/m}.

Resposta

1,193\times10^{3}\\ (\Omega\cdot\mathrm{m})^{-1}
a) 3,83\times10^{-2}\\ \mathrm{A}
b) 1,09\times10^{2}\\ \mathrm{A/m^{2}}
c) 1,283\times10^{-2}\\ \mathrm{m/s}
d) 226,6\\ \mathrm{V/m}

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