1. Uma esfera rígida tem 100 g de massa, 1 cm de raio, uma energia cinética de 2 J , não está sujeita a nenhuma força e está confinada a uma região entre duas paredes rígidas
    separadas por uma distância de 50 cm . a) Qual é a probabilidade de que, em um determinado instante, o centro da esfera esteja exatamente a meio caminho entre as duas paredes? b) Qual é a probabilidade de que o centro da esfera esteja entre as marcas de 24,9 e 25,1 \mathrm{~cm} ? (Ex.23)

Passo 1

Enunciado e dados que nos deram (tudo tirado do enunciado):
  • Uma esfera rígida tem massa m=100\\ \mathrm{g}=0,1\\ \mathrm{kg}.
  • O raio da esfera é r=1\\ \mathrm{cm}.
  • A energia cinética da esfera é E_{\text{c}}=2\\ \mathrm{J}.
  • Não há forças atuando (ou seja, a esfera se move livremente entre colisões elásticas com as paredes).
  • As duas paredes estão separadas por uma distância de 50\\ \mathrm{cm} (distância entre as superfícies das paredes).
    Perguntas do enunciado:
    a) Qual é a probabilidade de que, em um instante dado, o centro da esfera esteja exatamente a meio caminho entre as duas paredes?
    b) Qual é a probabilidade de que o centro da esfera esteja entre as marcas de 24,9\\ \mathrm{cm} e 25,1\\ \mathrm{cm}?

Passo 2

Entendimento físico e limites geométricos (porque o raio importa):
  • As paredes estão a 50\\ \mathrm{cm} de distância entre si, mas o centro da esfera não pode chegar até a superfície das paredes: o centro fica, no mínimo, a uma distância r da parede.
  • Portanto a posição possível para o centro, medida a partir de uma parede, varia de
x_{\min}=r=1\\ \mathrm{cm}
até
x_{\max}=50\\ \mathrm{cm}-r=49\\ \mathrm{cm}.
  • O comprimento total acessível para o centro é então
L = x_{\max}-x_{\min}=49\\ \mathrm{cm}-1\\ \mathrm{cm}=48\\ \mathrm{cm}.

Passo 3

Por que a distribuição de posição é uniforme: explicação didática passo a passo.
  • A esfera não sofre forças; entre colisões com as paredes ela se move com velocidade constante em módulo. A colisão com a parede é elástica e só inverte a direção, não a velocidade em módulo. Logo o movimento é periódico e a velocidade em módulo é constante.
  • Para um movimento com velocidade constante, o tempo que a partícula passa em um pequeno intervalo de posição \mathrm{d}x\) é proporcional ao comprimento desse intervalo \(\mathrm{d}x\) (tempo = distância/velocidade). Assim, fração do tempo que o centro passa em um intervalo é igual à razão entre o comprimento do intervalo e o comprimento total acessível \(L\). - Probabilidade, para uma única partícula em movimento observado num instante aleatório, é proporcional ao tempo médio gasto na região — portanto a densidade de probabilidade de posição é constante (uniforme) no intervalo acessível. - Assim a função densidade de probabilidade é \[p(x)=\begin{cases} \displaystyle \frac{1}{L}, & x\in[1\\ \mathrm{cm},\,49\\ \mathrm{cm}],\\[6pt] 0, & \text{fora.} \end{cases}
  • Observação importante: para uma variável contínua com densidade (p(x)] existe probabilidade positiva somente para intervalos; a probabilidade de um ponto isolado é zero (porque integra-se sobre um conjunto de medida zero).]

Passo 4

Resposta da parte (a) usando a propriedade de variáveis contínuas:
  • A posição é uma variável contínua com densidade uniforme no intervalo de comprimento L=48\\ \mathrm{cm}.
  • A probabilidade do centro estar exatamente num ponto (por exemplo, a meio caminho, x=25\\ \mathrm{cm}) é zero:
P\bigl(x=25\\ \mathrm{cm}\bigr)=0.
(Justificativa: para uma distribuição contínua P(x=a)=0 para qualquer a.)

Passo 5

Cálculo da parte (b): probabilidade de o centro estar entre 24,9\\ \mathrm{cm} e 25,1\\ \mathrm{cm}.
  • O comprimento do intervalo pedido é
\Delta x = 25,1\\ \mathrm{cm}-24,9\\ \mathrm{cm}=0,2\\ \mathrm{cm}.
  • Como a densidade é uniforme, a probabilidade é a razão entre o comprimento do intervalo e o comprimento total acessível:
P(24,9\\ \mathrm{cm}\le x\le25,1\\ \mathrm{cm})=\frac{\Delta x}{L}=\frac{0,2\\ \mathrm{cm}}{48\\ \mathrm{cm}}=\frac{1}{240}.
  • Em forma decimal e percentual:
\frac{1}{240}\approx 0,004166\ldots =0,4166\%\\ (\text{aprox.}).

Passo 6

(Apresa didática extra — velocidade e período, para convencer sobre a velocidade constante)
  • Para ver que a velocidade em módulo é realmente fixa, podemos calcular v a partir da energia cinética:
E_{\text{c}}=\tfrac{1}{2}mv^{2}\quad\Rightarrow\quad v=\sqrt{\frac{2E_{\text{c}}}{m}}=\sqrt{\frac{2\cdot 2}{0,1}}=\sqrt{40}\approx 6,3249\\ \mathrm{m/s}.
  • Isso confirma que o movimento é rápido e de módulo constante entre colisões, validando a hipótese usada para a uniformidade da distribuição espacial.

Resposta

(a) 0
(b) \dfrac{1}{240}\approx 0,004166\\ (0,4166\%)

Exercícios relacionados