- Uma esfera rígida tem 100 g de massa, 1 cm de raio, uma energia cinética de 2 J , não está sujeita a nenhuma força e está confinada a uma região entre duas paredes rígidas
separadas por uma distância de 50 cm . a) Qual é a probabilidade de que, em um determinado instante, o centro da esfera esteja exatamente a meio caminho entre as duas paredes? b) Qual é a probabilidade de que o centro da esfera esteja entre as marcas de 24,9 e
? (Ex.23)
separadas por uma distância de 50 cm . a) Qual é a probabilidade de que, em um determinado instante, o centro da esfera esteja exatamente a meio caminho entre as duas paredes? b) Qual é a probabilidade de que o centro da esfera esteja entre as marcas de 24,9 e
Passo 1
Enunciado e dados que nos deram (tudo tirado do enunciado):
- Uma esfera rígida tem massa
. - O raio da esfera é
. - A energia cinética da esfera é
. - Não há forças atuando (ou seja, a esfera se move livremente entre colisões elásticas com as paredes).
- As duas paredes estão separadas por uma distância de
(distância entre as superfícies das paredes).
Perguntas do enunciado:
a) Qual é a probabilidade de que, em um instante dado, o centro da esfera esteja exatamente a meio caminho entre as duas paredes?
b) Qual é a probabilidade de que o centro da esfera esteja entre as marcas dee ?
Passo 2
Entendimento físico e limites geométricos (porque o raio importa):
- As paredes estão a
de distância entre si, mas o centro da esfera não pode chegar até a superfície das paredes: o centro fica, no mínimo, a uma distância da parede. - Portanto a posição possível para o centro, medida a partir de uma parede, varia de
até
- O comprimento total acessível para o centro é então
Passo 3
Por que a distribuição de posição é uniforme: explicação didática passo a passo.
- A esfera não sofre forças; entre colisões com as paredes ela se move com velocidade constante em módulo. A colisão com a parede é elástica e só inverte a direção, não a velocidade em módulo. Logo o movimento é periódico e a velocidade em módulo é constante.
- Para um movimento com velocidade constante, o tempo que a partícula passa em um pequeno intervalo de posição
- Observação importante: para uma variável contínua com densidade (p(x)] existe probabilidade positiva somente para intervalos; a probabilidade de um ponto isolado é zero (porque integra-se sobre um conjunto de medida zero).]
Passo 4
Resposta da parte (a) usando a propriedade de variáveis contínuas:
- A posição é uma variável contínua com densidade uniforme no intervalo de comprimento
. - A probabilidade do centro estar exatamente num ponto (por exemplo, a meio caminho,
) é zero:
(Justificativa: para uma distribuição contínua
para qualquer
.)
Passo 5
Cálculo da parte (b): probabilidade de o centro estar entre
e
.
- O comprimento do intervalo pedido é
- Como a densidade é uniforme, a probabilidade é a razão entre o comprimento do intervalo e o comprimento total acessível:
- Em forma decimal e percentual:
Passo 6
(Apresa didática extra — velocidade e período, para convencer sobre a velocidade constante)
- Para ver que a velocidade em módulo é realmente fixa, podemos calcular
a partir da energia cinética:
- Isso confirma que o movimento é rápido e de módulo constante entre colisões, validando a hipótese usada para a uniformidade da distribuição espacial.
Resposta
(a)
(b)
(b)