1. Uma partícula de massa m está se movendo no interior de uma caixa unidimensional de comprimento L. (Suponha que a energia potencial da partícula no interior da caixa é nula e , portanto, sua energia total é igual à energia cinética, \mathrm{p}^{2} / 2 \mathrm{~m}.) A energia da partícula é quantizada pela condição de onda estacionária \mathrm{n} \lambda / 2=\mathrm{L}, onde \lambda é o comprimento de onda da partícula e n um número inteiro. a) Mostre que as energias permitidas são dadas por \mathrm{E}_{\mathrm{n}}=\mathrm{n}^{2} \mathrm{E}_{1}, onde \mathrm{E}_{1}=\mathrm{h}^{2} / 8 \mathrm{~mL}^{2}. b) Determine \mathrm{E}_{\mathrm{n}} para um elétron no interior de uma caixa com 0,1 \mathrm{~nm} de comprimento e faça um diagrama de níveis de energia para os estados de \mathrm{n}=1 \mathrm{a} \mathrm{n}=5. Use o segundo postulado de Bohr, f =\Delta \mathrm{E} / \mathrm{h}, para calcular o comprimento de onda da radiação eletromagnética emitida quando o elétron sofre uma transição \mathbf{c} ) do estado \mathrm{n}=2 para o estado \mathrm{n}=1; d) do estado n=3 para o estado n=2 ; \mathbf{e} ) do estado n=5 para o estado n=1. (Ex. 40)

Passo 1

O enunciado pede as seguintes coisas e nos dá os dados abaixo:
  • Perguntas:
    a) Mostrar que as energias permitidas satisfazem \mathrm{E}_{n} = n^{2}\mathrm{E}_{1}, onde \mathrm{E}_{1} = \dfrac{h^{2}}{8mL^{2}}.
    b) Determinar numericamente \mathrm{E}_{n} para um elétron confinado em uma caixa unidimensional de comprimento L = 0,1\\ \mathrm{nm} e fazer um diagrama de níveis de energia para n=1 a n=5.
    c) Calcular o comprimento de onda da radiação emitida na transição n=2\to n=1.
    d) Calcular o comprimento de onda da radiação emitida na transição n=3\to n=2.
    e) Calcular o comprimento de onda da radiação emitida na transição n=5\to n=1.
  • Informações e hipóteses dadas:
    • A energia potencial dentro da caixa é zero, logo a energia total é cinética E = \dfrac{p^{2}}{2m}.
    • Condição de onda estacionária (enunciado): \dfrac{n\lambda}{2} = L, com n inteiro e \lambda comprimento de onda da partícula.
    • Para o item numérico usarei constantes físicas padrão: constante de Planck h = 6,62607015\times10^{-34}\\ \mathrm{J\cdot s}, velocidade da luz c = 2,99792458\times10^{8}\\ \mathrm{m/s} e massa do elétron m_{e} = 9,10938356\times10^{-31}\\ \mathrm{kg}.
    • Comprimento da caixa: L = 0,1\\ \mathrm{nm} = 1\times10^{-10}\\ \mathrm{m}.
A resolução e justificativas começam no próximo passo.

Passo 2

Derivação teórica passo a passo (explicando cada conceito e variável):
  1. Relação de de Broglie (ondas associadas a partículas): a partícula com momento linear p tem comprimento de onda dado por
\lambda = \dfrac{h}{p},
onde h é a constante de Planck e p é o momento linear da partícula. Aqui p tem unidade \mathrm{kg\cdot m/s}.
  1. Energia cinética para uma partícula não relativística:
E = \dfrac{p^{2}}{2m},
onde m é a massa da partícula e E é a energia em joules.
  1. Condição de onda estacionária imposta pelo confinamento na caixa (enunciado):
\dfrac{n\lambda}{2} = L,
com n inteiro positivo. Essa condição significa que a onda de matéria cabe na caixa formando n meias-ondas; é ela que quantiza \lambda e, consequentemente, a energia.
  1. A partir da condição de onda, isolamos \lambda:
\lambda = \dfrac{2L}{n}.
  1. Usamos a relação de Broglie para obter o momento p em termos de n e L:
p = \dfrac{h}{\lambda} = \dfrac{h}{2L/n} = \dfrac{hn}{2L}.
  1. Substituímos p na expressão da energia cinética:
E_{n} = \dfrac{p^{2}}{2m} = \dfrac{1}{2m}\left(\dfrac{hn}{2L}\right)^{2}.
  1. Desenvolvendo a expressão:
E_{n} = \dfrac{h^{2}n^{2}}{8mL^{2}}.
  1. Definimos a energia fundamental (para n=1):
E_{1} = \dfrac{h^{2}}{8mL^{2}}.
  1. Finalmente obtemos a forma pedida:
\boxed{E_{n} = n^{2}E_{1}.}
Comentários pedagógicos rápidos: a quantização vem exclusivamente da condição de contorno (a onda deve “encaixar” na caixa). Cada n corresponde a um modo estacionário com maior momento e, portanto, maior energia. Observe que n só toma valores inteiros positivos.

Passo 3

Cálculo numérico de E_{1} para um elétron em uma caixa com L = 0,1\\ \mathrm{nm}.
  1. Fórmula de E_{1}:
E_{1} = \dfrac{h^{2}}{8mL^{2}}.
  1. Substituindo valores (todas as quantidades em unidades SI):
h = 6,62607015\times10^{-34}\\ \mathrm{J\cdot s}, \qquad m_{e} = 9,10938356\times10^{-31}\\ \mathrm{kg}, \qquad L = 1\times10^{-10}\\ \mathrm{m}.
  1. Calculamos L^{2} = (1\times10^{-10})^{2} = 1\times10^{-20}\\ \mathrm{m^{2}}.
  2. Numerador h^{2}:
h^{2} = (6,62607015\times10^{-34})^{2} \approx 4,390480\!\times10^{-67}\\ \mathrm{J^{2}\cdot s^{2}}.
  1. Denominador 8mL^{2}:
8mL^{2} = 8 \times 9,10938356\times10^{-31}\times 1\times10^{-20} = 7,287506848\times10^{-50}\\ \mathrm{kg\cdot m^{2}}.
  1. Dividindo:
E_{1} \approx \dfrac{4,390480\times10^{-67}}{7,287506848\times10^{-50}} \approx 6,02\times10^{-18}\\ \mathrm{J}.
  1. Conversão para elétron-volts ( 1\\ \mathrm{eV} = 1,602176634\times10^{-19}\\ \mathrm{J}):
E_{1} \approx \dfrac{6,02\times10^{-18}}{1,602176634\times10^{-19}} \approx 37,6\\ \mathrm{eV}.
Conclusão: para o elétron nesta caixa,
\boxed{E_{1} \approx 6,02\times10^{-18}\\ \mathrm{J} \approx 37,6\\ \mathrm{eV}.}

Passo 4

Cálculo de \mathrm{E}_{n} para n=1 a n=5 (usando \mathrm{E}_{n}=n^{2}\mathrm{E}_{1}) e apresentação tipo “diagrama” numérico.
  1. Fórmulas:
E_{n} = n^{2}E_{1}, \qquad E_{1} \approx 6,02\times10^{-18}\\ \mathrm{J} \approx 37,6\\ \mathrm{eV}.
  1. Cálculos:
\begin{aligned} E_{1} &= 1^{2}E_{1} = 6,02\times10^{-18}\\ \mathrm{J} \approx 37,6\\ \mathrm{eV},\\[4pt] E_{2} &= 2^{2}E_{1} = 4E_{1} \approx 4\times37,6\\ \mathrm{eV} = 150,4\\ \mathrm{eV},\\[4pt] E_{3} &= 3^{2}E_{1} = 9E_{1} \approx 9\times37,6\\ \mathrm{eV} = 338,4\\ \mathrm{eV},\\[4pt] E_{4} &= 4^{2}E_{1} = 16E_{1} \approx 16\times37,6\\ \mathrm{eV} = 601,6\\ \mathrm{eV},\\[4pt] E_{5} &= 5^{2}E_{1} = 25E_{1} \approx 25\times37,6\\ \mathrm{eV} = 940,0\\ \mathrm{eV}. \end{aligned}
  1. Diagrama de níveis (representação vertical simples, energias em eV):
\begin{array}{l} n=5:\;940,0\\ \mathrm{eV}\\[2pt] n=4:\;601,6\\ \mathrm{eV}\\[2pt] n=3:\;338,4\\ \mathrm{eV}\\[2pt] n=2:\;150,4\\ \mathrm{eV}\\[2pt] n=1:\;37,6\\ \mathrm{eV} \end{array}
Observação pedagógica: os níveis crescem com n^{2}, portanto espaçamento entre níveis também aumenta com n (a diferença entre n grandes é maior em energia).]

Passo 5

Cálculo dos comprimentos de onda das radiações emitidas nas transições pedidas, usando o postulado de Bohr (frequência f = \Delta E / h) e \lambda_{\text{fóton}} = c / f = \dfrac{hc}{\Delta E}ó.
  1. Constante hc:
hc = h\cdot c \approx (6,62607015\times10^{-34})\times(2,99792458\times10^{8}) \approx 1,98644586\times10^{-25}\\ \mathrm{J\cdot m}.
  1. Expressões gerais para as diferenças de energia (usando E_{n}=n^{2}E_{1}):
\Delta E_{n\to m} = E_{n}-E_{m} = (n^{2}-m^{2})E_{1}.
  1. Fórmula para comprimento de onda do fóton emitido na transição n\to m:
\lambda = \dfrac{hc}{\Delta E_{n\to m}} = \dfrac{hc}{(n^{2}-m^{2})E_{1}}.
Agora calculamos cada caso numérico (usando E_{1}\approx6,02\times10^{-18}\\ \mathrm{J} e hc\approx1,98644586\times10^{-25}\\ \mathrm{J\cdot m}).
Transição c) n=2\to n=1:
\Delta E = (2^{2}-1^{2})E_{1} = 3E_{1} \approx 3\times6,02\times10^{-18} = 1,807\times10^{-17}\\ \mathrm{J}.
\lambda_{2\to1} = \dfrac{hc}{\Delta E} \approx \dfrac{1,98644586\times10^{-25}}{1,807\times10^{-17}} \approx 1,099\times10^{-8}\\ \mathrm{m} = 11,0\\ \mathrm{nm}.
Transição d) n=3\to n=2:
\Delta E = (3^{2}-2^{2})E_{1} = 5E_{1} \approx 5\times6,02\times10^{-18} = 3,01\times10^{-17}\\ \mathrm{J}.
\lambda_{3\to2} = \dfrac{hc}{\Delta E} \approx \dfrac{1,98644586\times10^{-25}}{3,01\times10^{-17}} \approx 6,60\times10^{-9}\\ \mathrm{m} = 6,60\\ \mathrm{nm}.
Transição e) n=5\to n=1:
\Delta E = (5^{2}-1^{2})E_{1} = 24E_{1} \approx 24\times6,02\times10^{-18} = 1,445\times10^{-16}\\ \mathrm{J}.
\lambda_{5\to1} = \dfrac{hc}{\Delta E} \approx \dfrac{1,98644586\times10^{-25}}{1,445\times10^{-16}} \approx 1,374\times10^{-9}\\ \mathrm{m} = 1,37\\ \mathrm{nm}.
Interpretação rápida: as linhas estão no ultravioleta extremo / raio X suave dependendo da transição; transições que envolvem grande diferença n^{2}-m^{2} geram fótons mais energéticos (menor \lambda).

Resposta

(a) \displaystyle E_{n} = \dfrac{h^{2}n^{2}}{8mL^{2}} = n^{2}E_{1},\quad E_{1}=\dfrac{h^{2}}{8mL^{2}}.
(b) Para L=0,1\\ \mathrm{nm} e elétron:
E_{1}\approx 6,02\times10^{-18}\\ \mathrm{J}\approx 37,6\\ \mathrm{eV}.
E_{2}\approx 150,4\\ \mathrm{eV}.
E_{3}\approx 338,4\\ \mathrm{eV}.
E_{4}\approx 601,6\\ \mathrm{eV}.
E_{5}\approx 940,0\\ \mathrm{eV}.
(c) \lambda_{2\to1}\approx 11,0\\ \mathrm{nm}.
(d) \lambda_{3\to2}\approx 6,60\\ \mathrm{nm}.
(e) \lambda_{5\to1}\approx 1,37\\ \mathrm{nm}.

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