- Uma partícula de massa m está se movendo no interior de uma caixa unidimensional de comprimento L. (Suponha que a energia potencial da partícula no interior da caixa é nula e , portanto, sua energia total é igual à energia cinética,
.) A energia da partícula é quantizada pela condição de onda estacionária
, onde
é o comprimento de onda da partícula e n um número inteiro. a) Mostre que as energias permitidas são dadas por
, onde
. b) Determine
para um elétron no interior de uma caixa com
de comprimento e faça um diagrama de níveis de energia para os estados de
. Use o segundo postulado de Bohr, f
, para calcular o comprimento de onda da radiação eletromagnética emitida quando o elétron sofre uma transição
) do estado
para o estado
; d) do estado
para o estado
) do estado
para o estado
. (Ex. 40)
Passo 1
O enunciado pede as seguintes coisas e nos dá os dados abaixo:
-
Perguntas:
a) Mostrar que as energias permitidas satisfazem, onde .
b) Determinar numericamentepara um elétron confinado em uma caixa unidimensional de comprimento e fazer um diagrama de níveis de energia para a .
c) Calcular o comprimento de onda da radiação emitida na transição.
d) Calcular o comprimento de onda da radiação emitida na transição.
e) Calcular o comprimento de onda da radiação emitida na transição. -
Informações e hipóteses dadas:
- A energia potencial dentro da caixa é zero, logo a energia total é cinética
. - Condição de onda estacionária (enunciado):
, com inteiro e comprimento de onda da partícula. - Para o item numérico usarei constantes físicas padrão: constante de Planck
, velocidade da luz e massa do elétron . - Comprimento da caixa:
.
- A energia potencial dentro da caixa é zero, logo a energia total é cinética
A resolução e justificativas começam no próximo passo.
Passo 2
Derivação teórica passo a passo (explicando cada conceito e variável):
- Relação de de Broglie (ondas associadas a partículas): a partícula com momento linear
tem comprimento de onda dado por
onde
é a constante de Planck e
é o momento linear da partícula. Aqui
tem unidade
.
- Energia cinética para uma partícula não relativística:
onde
é a massa da partícula e
é a energia em joules.
- Condição de onda estacionária imposta pelo confinamento na caixa (enunciado):
com
inteiro positivo. Essa condição significa que a onda de matéria cabe na caixa formando
meias-ondas; é ela que quantiza
e, consequentemente, a energia.
- A partir da condição de onda, isolamos
:
- Usamos a relação de Broglie para obter o momento
em termos de e :
- Substituímos
na expressão da energia cinética:
- Desenvolvendo a expressão:
- Definimos a energia fundamental (para
):
- Finalmente obtemos a forma pedida:
Comentários pedagógicos rápidos: a quantização vem exclusivamente da condição de contorno (a onda deve “encaixar” na caixa). Cada
corresponde a um modo estacionário com maior momento e, portanto, maior energia. Observe que
só toma valores inteiros positivos.
Passo 3
Cálculo numérico de
para um elétron em uma caixa com
.
- Fórmula de
:
- Substituindo valores (todas as quantidades em unidades SI):
-
Calculamos
. -
Numerador
:
- Denominador
:
- Dividindo:
- Conversão para elétron-volts (
):
Conclusão: para o elétron nesta caixa,
Passo 4
Cálculo de
para
a
(usando
) e apresentação tipo “diagrama” numérico.
- Fórmulas:
- Cálculos:
- Diagrama de níveis (representação vertical simples, energias em eV):
Observação pedagógica: os níveis crescem com
, portanto espaçamento entre níveis também aumenta com
(a diferença entre
grandes é maior em energia).]
Passo 5
Cálculo dos comprimentos de onda das radiações emitidas nas transições pedidas, usando o postulado de Bohr (frequência
) e
.
- Constante
:
- Expressões gerais para as diferenças de energia (usando
):
- Fórmula para comprimento de onda do fóton emitido na transição
:
Agora calculamos cada caso numérico (usando
e
).
Transição c)
:
Transição d)
:
Transição e)
:
Interpretação rápida: as linhas estão no ultravioleta extremo / raio X suave dependendo da transição; transições que envolvem grande diferença
geram fótons mais energéticos (menor
).
Resposta
(a)
(b) Para
e elétron:
(c)
(d)
(e)