Aplicando o algoritmo de Gram-Schmidt, encontre uma base ortonormal para o espaco coluna da matriz. Escreva a matriz na forma de fatoração QR.
A=\left(\begin{array}{lll}1 & 2 & 1 \\\\ 1 & 1 & 1 \\\\ 0 & 3 & 1\end{array}\right)

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  • Encontrar uma base ortonormal para o espaço coluna da matriz A.
  • Escrever A na forma da fatoração QR, com Q ortogonal (colunas ortonormais) e R triangular superior.
As informações dadas (extraídas diretamente da matriz):
A=\begin{pmatrix}1 & 2 & 1 \\[4pt] 1 & 1 & 1 \\[4pt] 0 & 3 & 1\end{pmatrix}.
Vou denotar as colunas de A por
v_1=\begin{pmatrix}1\\[2pt]1\\[2pt]0\end{pmatrix},\qquad v_2=\begin{pmatrix}2\\[2pt]1\\[2pt]3\end{pmatrix},\qquad v_3=\begin{pmatrix}1\\[2pt]1\\[2pt]1\end{pmatrix}.
O objetivo é aplicar o processo de Gram–Schmidt às colunas v_1,v_2,v_3 para obter vetores ortogonais u_1,u_2,u_3 e então normalizá‑los para obter uma base ortonormal e_1,e_2,e_3. Em seguida montar Q=[\,e_1\\ e_2\\ e_3\,] e R com entradas r_{ij}=\langle e_i,v_j\rangle (para i\le j).]

Passo 2

Breve aula: fórmula do Gram–Schmidt (passo a passo)
  • Começa-se com u_1=v_1.
  • Para k\ge2,
u_k = v_k - \sum_{j=1}^{k-1}\operatorname{proj}_{u_j}(v_k), \qquad\text{onde}\qquad \operatorname{proj}_{u_j}(v_k)=\frac{\langle v_k,u_j\rangle}{\langle u_j,u_j\rangle}\,u_j.
  • Depois normaliza-se:
e_k=\frac{u_k}{\|u_k\|},\qquad \|u_k\|=\sqrt{\langle u_k,u_k\rangle}.
Aqui \langle x,y\rangle é o produto interno padrão (soma dos produtos das componentes). Esse processo produz vetores e_1,e_2,\dots ortonormais e, se os v_k forem linearmente independentes, teremos uma base ortonormal do espaço gerado por eles.

Passo 3

Primeiro vetor:
u_1=v_1=\begin{pmatrix}1\\[2pt]1\\[2pt]0\end{pmatrix},\qquad \|u_1\|=\sqrt{1^2+1^2+0^2}=\sqrt{2}.
Normalizando:
e_1=\frac{u_1}{\|u_1\|}=\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix}1\\[2pt]1\\[2pt]0\end{pmatrix}.]

Passo 4

Segundo vetor: remover a componente na direção de e_1.
Calcule o produto interno \langle e_1,v_2\rangle:
\langle e_1,v_2\rangle=\frac{1}{\sqrt{2}}(2+1+0)=\frac{3}{\sqrt{2}}.
A projeção de v_2 sobre e_1 é \langle e_1,v_2\rangle e_1. Em vez de projetar em e_1, é conveniente usar a forma com u_1:
\operatorname{proj}_{u_1}(v_2)=\frac{\langle v_2,u_1\rangle}{\langle u_1,u_1\rangle}u_1.
Aqui \langle v_2,u_1\rangle = 2\cdot1 + 1\cdot1 + 3\cdot0 = 3 e \langle u_1,u_1\rangle=2. Logo
\operatorname{proj}_{u_1}(v_2)=\frac{3}{2}\begin{pmatrix}1\\[2pt]1\\[2pt]0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3/2\\[2pt]3/2\\[2pt]0\end{pmatrix}.
Então
u_2 = v_2 - \operatorname{proj}_{u_1}(v_2) = \begin{pmatrix}2\\[2pt]1\\[2pt]3\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}3/2\\[2pt]3/2\\[2pt]0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1/2\\[2pt]-1/2\\[2pt]3\end{pmatrix}.
Calcule a norma:
\|u_2\|^2=\left(\tfrac{1}{2}\right)^2+\left(-\tfrac{1}{2}\right)^2+3^2=\tfrac{1}{4}+\tfrac{1}{4}+9=\tfrac{19}{2}, \qquad \|u_2\|=\sqrt{\tfrac{19}{2}}.
Normalizando u_2. Para simplificar, observe que u_2=\tfrac{1}{2}(1,-1,6)^T e \|(1,-1,6)\|=\sqrt{38}. Assim
e_2=\frac{u_2}{\|u_2\|}=\frac{1}{\sqrt{38}}\begin{pmatrix}1\\[2pt]-1\\[2pt]6\end{pmatrix}.]

Passo 5

Terceiro vetor: subtrair as projeções sobre u_1 e u_2.
Projeção de v_3 sobre u_1:
\langle v_3,u_1\rangle = 1\cdot1 + 1\cdot1 + 1\cdot0 = 2,\qquad \operatorname{proj}_{u_1}(v_3)=\frac{2}{2}u_1=\begin{pmatrix}1\\[2pt]1\\[2pt]0\end{pmatrix}.
Projeção de v_3 sobre u_2: use
\operatorname{proj}_{u_2}(v_3)=\frac{\langle v_3,u_2\rangle}{\langle u_2,u_2\rangle}u_2.
Calcula-se \langle v_3,u_2\rangle = 1\cdot\frac{1}{2} + 1\cdot\left(-\frac{1}{2}\right) + 1\cdot 3 = 3.
E já tínhamos \langle u_2,u_2\rangle=\tfrac{19}{2}. Então
\operatorname{proj}_{u_2}(v_3)=\frac{3}{19/2}\,u_2=\frac{6}{19}\,u_2 = \frac{6}{19}\begin{pmatrix}1/2\\[2pt]-1/2\\[2pt]3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}3/19\\[2pt]-3/19\\[2pt]18/19\end{pmatrix}.
Agora
u_3 = v_3 - \operatorname{proj}_{u_1}(v_3) - \operatorname{proj}_{u_2}(v_3) = \begin{pmatrix}1\\[2pt]1\\[2pt]1\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}1\\[2pt]1\\[2pt]0\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}3/19\\[2pt]-3/19\\[2pt]18/19\end{pmatrix}.
Calcule componente a componente:
u_3 = \begin{pmatrix}0\\[2pt]0\\[2pt]1\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}3/19\\[2pt]-3/19\\[2pt]18/19\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-3/19\\[2pt]3/19\\[2pt]1/19\end{pmatrix} = \frac{1}{19}\begin{pmatrix}-3\\[2pt]3\\[2pt]1\end{pmatrix}.
Norma:
\|u_3\|^2 = \frac{1}{19^2}\bigl[(-3)^2+3^2+1^2\bigr] = \frac{19}{19^2}=\frac{1}{19}, \qquad \|u_3\|=\frac{1}{\sqrt{19}}.
Logo a normalização é simples:
e_3=\frac{u_3}{\|u_3\|}=\frac{\tfrac{1}{19}(-3,3,1)^T}{1/\sqrt{19}} =\frac{1}{\sqrt{19}}\begin{pmatrix}-3\\[2pt]3\\[2pt]1\end{pmatrix}.]

Passo 6

Resumo dos vetores ortonormais encontrados:
e_1=\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix}1\\[2pt]1\\[2pt]0\end{pmatrix},\qquad e_2=\frac{1}{\sqrt{38}}\begin{pmatrix}1\\[2pt]-1\\[2pt]6\end{pmatrix},\qquad e_3=\frac{1}{\sqrt{19}}\begin{pmatrix}-3\\[2pt]3\\[2pt]1\end{pmatrix}.
É fácil verificar que \langle e_i,e_j\rangle=0 para i\neq j e \|e_i\|=1.]

Passo 7

Construção da fatoração A=QR.
Matriz Q com as colunas e_1,e_2,e_3:
Q=\begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{38}} & \frac{-3}{\sqrt{19}}\\[6pt] \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{-1}{\sqrt{38}} & \frac{3}{\sqrt{19}}\\[6pt] 0 & \frac{6}{\sqrt{38}} & \frac{1}{\sqrt{19}} \end{pmatrix}.
Os coeficientes da matriz triangular R são r_{ij}=\langle e_i,v_j\rangle para i\le j. Podemos obter R diretamente dos passos anteriores:
\begin{aligned} r_{11}&=\|v_1\|=\sqrt{2},\\[4pt] r_{12}&=\langle e_1,v_2\rangle=\frac{3}{\sqrt{2}},\\[4pt] r_{13}&=\langle e_1,v_3\rangle=\frac{2}{\sqrt{2}}=\sqrt{2},\\[6pt] r_{22}&=\|u_2\|=\sqrt{\tfrac{19}{2}}=\frac{\sqrt{19}}{\sqrt{2}},\\[4pt] r_{23}&=\langle e_2,v_3\rangle=\frac{3\sqrt{2}}{\sqrt{19}},\\[6pt] r_{33}&=\|u_3\|=\frac{1}{\sqrt{19}}. \end{aligned}
Assim
R=\begin{pmatrix} \sqrt{2} & \dfrac{3}{\sqrt{2}} & \sqrt{2}\\[8pt] 0 & \dfrac{\sqrt{19}}{\sqrt{2}} & \dfrac{3\sqrt{2}}{\sqrt{19}}\\[8pt] 0 & 0 & \dfrac{1}{\sqrt{19}} \end{pmatrix}.
Por construção vale A=Q R, com Q ortogonal ( Q^T Q=I) e R triangular superior.]

Resposta

Base ortonormal para o espaço coluna:
\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix}1\\[2pt]1\\[2pt]0\end{pmatrix},\qquad \frac{1}{\sqrt{38}}\begin{pmatrix}1\\[2pt]-1\\[2pt]6\end{pmatrix},\qquad \frac{1}{\sqrt{19}}\begin{pmatrix}-3\\[2pt]3\\[2pt]1\end{pmatrix}.
Fatoração A=QR com
Q=\begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{38}} & \frac{-3}{\sqrt{19}}\\[6pt] \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{-1}{\sqrt{38}} & \frac{3}{\sqrt{19}}\\[6pt] 0 & \frac{6}{\sqrt{38}} & \frac{1}{\sqrt{19}} \end{pmatrix},\qquad R=\begin{pmatrix} \sqrt{2} & \dfrac{3}{\sqrt{2}} & \sqrt{2}\\[8pt] 0 & \dfrac{\sqrt{19}}{\sqrt{2}} & \dfrac{3\sqrt{2}}{\sqrt{19}}\\[8pt] 0 & 0 & \dfrac{1}{\sqrt{19}} \end{pmatrix}.

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