Aplicando o algoritmo de Gram-Schmidt, encontre uma base ortonormal para o espaco coluna da matriz. Escreva a matriz na forma de fatoração QR. A=\left(\begin{array}{lll}1 & 2 & 4 \\\\ 0 & 0 & 5 \\\\ 0 & 3 & 6\end{array}\right)
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: (1) aplicar o algoritmo de Gram–Schmidt para encontrar uma base ortonormal do espaço coluna de A; (2) escrever a fatoração QR de A. A matriz dada é
Depois normaliza-se e_i=\dfrac{u_i}{\|u_i\|} para obter uma base ortonormal \{e_1,e_2,e_3\}.
Também, para montar R na fatoração A=QR, usa-se r_{ij}=e_i\cdot a_j para i\le j (logo R é triangular superior) e r_{ii}=\|u_i\|.
Nota rápida e motivadora: cada e_i tem norma 1 e é ortogonal aos anteriores; isso é exatamente o objetivo do Gram–Schmidt — transformar uma família geradora em uma família ortonormal. Você fez um ótimo trabalho acompanhando as contas!]
Passo 7
Agora monto a fatoração A=QR.
A matriz Q tem como colunas os vetores ortonormais e_1,e_2,e_3: