Aplicando o algoritmo de Gram-Schmidt, encontre uma base ortonormal para o espaco coluna da matriz. Escreva a matriz na forma de fatoração QR.
A=\left(\begin{array}{lll}1 & 2 & 4 \\\\ 0 & 0 & 5 \\\\ 0 & 3 & 6\end{array}\right)

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: (1) aplicar o algoritmo de Gram–Schmidt para encontrar uma base ortonormal do espaço coluna de A; (2) escrever a fatoração QR de A. A matriz dada é
A=\begin{pmatrix}1 & 2 & 4 \\[4pt] 0 & 0 & 5 \\[4pt] 0 & 3 & 6\end{pmatrix}.
Vou trabalhar com as colunas de A. Denotando-as por \,a_1,a_2,a_3, temos
a_1=\begin{pmatrix}1\\[2pt]0\\[2pt]0\end{pmatrix},\qquad a_2=\begin{pmatrix}2\\[2pt]0\\[2pt]3\end{pmatrix},\qquad a_3=\begin{pmatrix}4\\[2pt]5\\[2pt]6\end{pmatrix}.]

Passo 2

Recordando o procedimento de Gram–Schmidt (passo a passo e sem pular etapas):
  • Se u é um vetor, a sua norma euclidiana é \|u\|=\sqrt{u\cdot u}, onde u\cdot v é o produto interno padrão (soma dos produtos coordenada a coordenada).
  • A projeção de um vetor v sobre um vetor não nulo w é
\operatorname{proj}_{w}(v)=\frac{w\cdot v}{w\cdot w}\,w.
  • Se e for vetor unitário ( \|e\|=1), a projeção simplifica para \operatorname{proj}_{e}(v)=(e\cdot v)\,e.
  • Gram–Schmidt gera vetores ortogonais u_1,u_2,u_3 a partir das colunas a_1,a_2,a_3 por:
u_1=a_1,\qquad u_2=a_2-\operatorname{proj}_{u_1}(a_2),\qquad u_3=a_3-\operatorname{proj}_{u_1}(a_3)-\operatorname{proj}_{u_2}(a_3).
Depois normaliza-se e_i=\dfrac{u_i}{\|u_i\|} para obter uma base ortonormal \{e_1,e_2,e_3\}.
Também, para montar R na fatoração A=QR, usa-se r_{ij}=e_i\cdot a_j para i\le j (logo R é triangular superior) e r_{ii}=\|u_i\|.

Passo 3

Começando pelo primeiro vetor:
u_1=a_1=\begin{pmatrix}1\\[2pt]0\\[2pt]0\end{pmatrix}.
Calculo a norma:
\|u_1\|=\sqrt{1^2+0^2+0^2}=\sqrt{1}=1.
Normalizando:
e_1=\frac{u_1}{\|u_1\|}=\begin{pmatrix}1\\[2pt]0\\[2pt]0\end{pmatrix}.
(Ótimo: e_1 já é unitário.)]

Passo 4

Agora ortogonalizo a_2 em relação a e_1.
Primeiro o produto interno e_1\cdot a_2:
e_1\cdot a_2 = (1,0,0)\cdot(2,0,3)=1\cdot 2 + 0\cdot 0 + 0\cdot 3 = 2.
A projeção de a_2 sobre e_1 é (e_1\cdot a_2)e_1 = 2\,e_1 = \begin{pmatrix}2\\[2pt]0\\[2pt]0\end{pmatrix}.
Subtraindo:
u_2 = a_2 - \operatorname{proj}_{e_1}(a_2) = \begin{pmatrix}2\\[2pt]0\\[2pt]3\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}2\\[2pt]0\\[2pt]0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\\[2pt]0\\[2pt]3\end{pmatrix}.
Norma de u_2:
\|u_2\|=\sqrt{0^2+0^2+3^2}=\sqrt{9}=3.
Normalizando:
e_2=\frac{u_2}{\|u_2\|}=\frac{1}{3}\begin{pmatrix}0\\[2pt]0\\[2pt]3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\[2pt]0\\[2pt]1\end{pmatrix}.]

Passo 5

Agora ortogonalizo a_3 em relação a e_1 e e_2.
Calculo e_1\cdot a_3 e e_2\cdot a_3:
e_1\cdot a_3 = (1,0,0)\cdot(4,5,6)=4, \qquad e_2\cdot a_3 = (0,0,1)\cdot(4,5,6)=6.
As projeções são 4e_1=\begin{pmatrix}4\\[2pt]0\\[2pt]0\end{pmatrix} e 6e_2=\begin{pmatrix}0\\[2pt]0\\[2pt]6\end{pmatrix}.
Subtraindo ambas de a_3:
u_3 = a_3 - 4e_1 - 6e_2 = \begin{pmatrix}4\\[2pt]5\\[2pt]6\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}4\\[2pt]0\\[2pt]0\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}0\\[2pt]0\\[2pt]6\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\\[2pt]5\\[2pt]0\end{pmatrix}.
Norma de u_3:
\|u_3\|=\sqrt{0^2+5^2+0^2}=\sqrt{25}=5.
Normalizando:
e_3=\frac{u_3}{\|u_3\|}=\frac{1}{5}\begin{pmatrix}0\\[2pt]5\\[2pt]0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\[2pt]1\\[2pt]0\end{pmatrix}.]

Passo 6

Assim obtemos a base ortonormal (as três colunas e_1,e_2,e_3):
e_1=\begin{pmatrix}1\\[2pt]0\\[2pt]0\end{pmatrix},\qquad e_2=\begin{pmatrix}0\\[2pt]0\\[2pt]1\end{pmatrix},\qquad e_3=\begin{pmatrix}0\\[2pt]1\\[2pt]0\end{pmatrix}.
Nota rápida e motivadora: cada e_i tem norma 1 e é ortogonal aos anteriores; isso é exatamente o objetivo do Gram–Schmidt — transformar uma família geradora em uma família ortonormal. Você fez um ótimo trabalho acompanhando as contas!]

Passo 7

Agora monto a fatoração A=QR.
  • A matriz Q tem como colunas os vetores ortonormais e_1,e_2,e_3:
Q=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\[4pt] 0 & 0 & 1 \\[4pt] 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}.
  • Os coeficientes de R são r_{ij}=e_i\cdot a_j para i\le j (e zero para i>j). Já calculamos algumas projeções; organizando:
r_{11}=\|u_1\|=1,\quad r_{12}=e_1\cdot a_2=2,\quad r_{13}=e_1\cdot a_3=4,
r_{22}=\|u_2\|=3,\quad r_{23}=e_2\cdot a_3=6,
r_{33}=\|u_3\|=5.
As entradas abaixo da diagonal são zero, portanto
R=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 4 \\[4pt] 0 & 3 & 6 \\[4pt] 0 & 0 & 5 \end{pmatrix}.
Verificação curta (opcional mas útil): multiplicando Q por R obtém-se exatamente A:
QR=\begin{pmatrix}1&0&0\\[2pt]0&0&1\\[2pt]0&1&0\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1&2&4\\[2pt]0&3&6\\[2pt]0&0&5\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}1&2&4\\[2pt]0&0&5\\[2pt]0&3&6\end{pmatrix}=A.]

Resposta

Ortonormal basis: \displaystyle e_1=\begin{pmatrix}1\\[2pt]0\\[2pt]0\end{pmatrix},\quad e_2=\begin{pmatrix}0\\[2pt]0\\[2pt]1\end{pmatrix},\quad e_3=\begin{pmatrix}0\\[2pt]1\\[2pt]0\end{pmatrix}
Q=\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\[4pt] 0 & 0 & 1 \\[4pt] 0 & 1 & 0\end{pmatrix}
R=\begin{pmatrix}1 & 2 & 4 \\[4pt] 0 & 3 & 6 \\[4pt] 0 & 0 & 5\end{pmatrix}]

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